Question

（本題10分）已知，如圖，過點作平行于軸的直線，拋物線上的兩點的橫坐標分別為1和4，直線交軸于點，過點分別作直線的垂線，垂足分別為點、，連接．

【小題1】（1）求點的坐標；
【小題2】（2）求證：；
【小題3】（3）點是拋物線對稱軸右側圖象上的一動點，過點作交軸于點，是否存在點使得與相似？若存在，請求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【小題1】(1).    
【小題2】(2)       
【小題3】（3）  

解析考點：二次函數綜合題。
分析：
（1）有兩種方法，方法一是傳統(tǒng)的點的待定系數法，方法二，通過作輔助線，構造△BGF∽△BHA由比例關系求出F點坐標；
（2）也有兩種方法，方法一，在Rt△CEF中算出△DEF邊長利用勾股定理證明CF⊥DF；方法二利用幾何關系求出∠CFD=90°；
（3）求存在性問題，先假設存在，看是否找到符合條件的點P的坐標，此題分兩種情況；①Rt△QPO∽Rt△CFD；②Rt△OPQ∽Rt△CFD，根據比例求出P點坐標。
解答：

（1）方法一：如圖1，當x=-1時，y=1/4；當x=4時，y=4
∴A（-1，1/4），B（4，4）。
設直線AB的解析式為y=kx+b，
則-k+b=1/4，4k+b=4
解得k=3/4，b=1。
∴直線AB的解析式為y=3/4x+1。
當x=0時，y=1
∴F（0，1）。
方法二：求A、B兩點坐標同方法一，

如圖2，作FG⊥BD，AH⊥BD，垂足分別為G、H，交y軸于點N，則四邊FOMG和四邊形NOMH均為矩形，設FO=x，
∵△BGF∽△BHA
∴BG/BH=FG/AH
∴（4- x）/（4-1/4）=4/5
解得x=1
∴F（0，1）。
（2）證明：
方法一：在Rt△CEF中，CE=1，EF=2，
根據勾股定理得：CF²=CE²+EF²=1²+2²=5，
∴CF=
在Rt△DEF中，DE=4，EF=2
∴DF²=DE²+EF²=4²+2²=20
∴DF=2
由（1）得C（-1，-1），D（4，-1）
∴CD=5
∴CD²=5²=25
∴CF²+DF²=CD²
∴∠CFD=90°
∴CF⊥DF（8分）
方法二：由（1）知AF==，AC=5/4
∴AF=AC。
同理：BF=BD
∴∠ACF=∠AFC
∵AC∥EF
∴∠ACF=∠CFO
∴∠AFC=∠CFO
同理：∠BFD=∠OFD
∴∠CFD=∠OFC+∠OFD=90°
即CF⊥DF（8分）
（3）存在。
解：如圖3，作PM⊥x軸，垂足為點M（9分）

又∵PQ⊥OP
∴Rt△OPM∽Rt△OQP
∴PM/PQ=OM/OP
∴PQ/OP=PM/OM。
設P（x，1/4x²）（x＞0），
則PM=1/4x²，OM=x
①當Rt△QPO∽Rt△CFD時，
PQ/OP=CF/DF=/2=1/2
∴PM/OM=1/4x²/x=1/2
解得x=2   
∴P₁（2，1）。
②當Rt△OPQ∽Rt△CFD時，
PQ/OP=DF/CF=2/=2
∴PM/OM=1/4x²/x=2
解得x=8
∴P₂（8，16）
綜上，存在點P₁（2，1）、P₂（8，16）使得△OPQ與△CDF相似。
點評：此題是一道綜合性較強的題，前兩問方法多，有普通的方法和新穎的方法，作合適的輔助線很重要，最后一問是探究性問題，發(fā)散思維。