Question

如圖．點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于點(diǎn)E，過點(diǎn)O作OF⊥BC于F，求證：

（1）△AEB∽△OFC；
（2）AD=2FO．

Answer 1

證明：（1）如圖，連接OB，則∠BAE=∠BOC，

∵OF⊥BC，∴∠COF=∠BOC。
∴∠BAE=∠COF。
又∵AC⊥BD，OF⊥BC，∴∠OFC=∠AEB=90°。
∴△AEB∽△OFC。
（2）∵△AEB∽△OFC，∴，即。
由圓周角定理，∠D=∠BCE，∠DAE=∠CBE，
∴△ADE∽△BCE�！�。
∴。
∵OF⊥BC，∴BC=2CF。
∴AD =2FO。

試題分析：（1）連接OB，根據(jù)圓周角定理可得∠BAE=∠BOC，根據(jù)垂徑定理可得∠COF=∠BOC，再根據(jù)垂直的定義可得∠OFC=∠AEB=90°，然后根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似證明即可；
（2）根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得，再根據(jù)圓周角定理求出∠D=∠BCE，∠DAE=∠CBE，然后求出△ADE和△BCE相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得，從而得到，再根據(jù)垂徑定理BC=2FC，代入整理即可得證。