Question

（1998•北京）如圖，AB為半圓的直徑，O為圓心，AB=6，延長BA到F，使FA=AB．若P為線段AF上的一個動點（P點與A點不重合），過P點作半圓的切線，切點為C，作CD⊥AB，垂足為D．過B點作BE⊥PC，交PC的延長線于點E．連接AC、DE．
（1）判斷線段AC、DE所在直線是否平行，并證明你的結論；
（2）設AC為x，AC+BE為y，求y與x的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）證Rt△PCD∽Rt△PBE得出比例式，根據(jù)切割線定理得出比例式，推出

PA

PC

=

PD

PE

，推出即可；
（2）連接BC，根據(jù)勾股定理求出BC²=36-x²，證Rt△ABC∽Rt△CBE，得出

AB

BC

=

CB

BE

，求出BE=

BC2

AB

=

36-x2

6

，代入即可求出答案．

解答：（1）線段AC、DE所在直線平行．
證明：∵CD⊥AB，BE⊥PE，∠CPD=∠BPE，
∴Rt△PCD∽Rt△PBE，
∴

PC

PB

=

PD

PE

，
∵PC與⊙O相切于C點，PAB為⊙O的割線
∴PC²=PA×PB
∴

PC

PB

=

PA

PC

，
∴

PA

PC

=

PD

PE

，
∵∠CPA=∠EPD，
∴△CPA∽△EPD，
∴∠PCA=∠PED，
∴AC∥DE；

（2）解：連接BC，
∵AB為半圓直徑，
∴∠ACB=90°，
∴AC²+BC²=AB²；
∵AC=x，AB=6
∴BC²=6²-x²=36-x²，
∵PC與半圓相切于點C
∴∠BAC=∠BCE，
∵∠ACB=∠BEC=90°，
∴Rt△ABC∽Rt△CBE，
∴

AB

BC

=

CB

BE

，
∴BE=

BC2

AB

=

36-x2

6

，
∵y=AC+BE
∴y=x+

36-x2

6

y=-

1

6

x²+x+6，
∵P為線段AF上動點（P點與A點不重合）
∴點P與點F重合時，AC的值最大，此時PC=

(6+3)2-62

=3

5

，
根據(jù)三角形面積求出CD=2

5

，
OD=

62-(2 5 )2

=4，AD=6-4=2，
即AC=

(2 5 )2+22

=2

6

∴y=-

1

6

x²+x+6，其中0＜x≤2

6

．

點評：本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的性質和判定，切線的性質，平行線的判定，勾股定理，三角形的面積等知識點的綜合運用，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力，難度偏大．