Question

已知：如圖，平行四邊形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中，AD=6．OA、OB的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x²-7x+12=0的兩個(gè)根，且OA＞OB．
（1）求cos∠ABC的值；
（2）若E是x軸正半軸上的一點(diǎn)，且S△AOE=

16

3

，求經(jīng)過(guò)D、E兩點(diǎn)的直線的解析式，并判斷△AOE與△DAO是否相似，同時(shí)說(shuō)明理由；
（3）點(diǎn)M在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)F在直線AB上，如果以A、C、F、M為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，請(qǐng)直接寫出F點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）解一元二次方程求出OA，OB的長(zhǎng)度，再利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)度，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義余弦=鄰邊：斜邊計(jì)算即可；
（2）先根據(jù)三角形的面積求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等的性質(zhì)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求解直線的解析式；分別求出兩三角形夾直角的兩對(duì)應(yīng)邊的比，如果相等，則兩三角形相似，否則不相似；
（3）分點(diǎn)F在射線AB上與射線BA上兩種情況，結(jié)合菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角的性質(zhì)求解．

解答：解：（1）x²-7x+12=0，
（x-3）（x-4）=0，
∴x-3=0，x-4=0，
解得x₁=3，x₂=4，
∵OA＞OB，
∴OA=4，OB=3，
在△AOB中，AB=

OA2+OB2

=

42+32

=5，
∴cos∠ABC=

OB

AB

=

3

5

；

（2）根據(jù)題意，設(shè)E（x，0），則
S_△AOE=

1

2

×OA×x=

1

2

×4x=

16

3

，
解得x=

8

3

，
∴E（

8

3

，0），
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（6，4），
設(shè)經(jīng)過(guò)D、E兩點(diǎn)的直線的解析式為y=kx+b，
則

8 3 k+ b=0 6k+b=4

，
解得

k= 6 5 b=- 16 5

，
∴解析式為y=

6

5

x-

16

5

；
在△AOE與△DAO中，

OA

OE

=

4

8 3

=

3

2

，

AD

OA

=

6

4

=

3

2

，
∴

OA

OE

=

AD

OA

，
又∵∠AOE=∠OAD=90°，
∴△AOE∽△DAO；

（3）根據(jù)計(jì)算的數(shù)據(jù)，OB=OC=3，
∴AO平分∠BAC，
①點(diǎn)F在射線AB上時(shí)，AF=AC=5，
所以點(diǎn)F與B重合，
即F（-3，0），
②點(diǎn)F在射線BA上時(shí)，M應(yīng)在直線AD上，且FC垂直平分AM，
點(diǎn)F（3，8）．
③F（-

75

14

，-

22

7

），④（-

42

25

，

44

25

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解一元二次方程，相似三角形的性質(zhì)與判定，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，綜合性較強(qiáng)，（3）求點(diǎn)F要注意分兩種情況進(jìn)行討論，不要漏解．