Question

已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（2，0）、C(0，12) 兩點，且對稱軸為直線x=4. 設(shè)頂點為

點P，與x軸的另一交點為點B.

（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點P的坐標；

（2）如圖1，在直線 y=2x上是否存在點D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，點M是線段OP上的一個動點（O、P兩點除外），以每秒個單位長度的速度由點P向點O 運動，過點M作直線MN∥x軸，交PB于點N. 將△PMN沿直線MN對折，得到△P₁MN. 在動點M的運動過程中，設(shè)△P₁MN與梯形OMNB的重疊部分的面積為S，運動時間為t秒. 求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.

Answer 1

解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c

            由題意得    解得

            ∴二次函數(shù)的解析式為y= x²－8x+12 

            點P的坐標為（4，－4）

（2）存在點D，使四邊形OPBD為等腰梯形. 理由如下：

當y=0時，x²-8x+12=0   ∴x₁=2 ， x₂=6

∴點B的坐標為（6，0）

設(shè)直線BP的解析式為y=kx+m

     則       解得

              ∴直線BP的解析式為y=2x－12

         ∴直線OD∥BP

     ∵頂點坐標P（4， －4）     ∴ OP=4

         設(shè)D(x，2x)    則BD²=（2x）²+(6－x)²

             當BD=OP時，（2x）²+(6－x)²=32

         解得：x₁=，x ₂=2

         當x₂=2時，OD=BP=，四邊形OPBD為平行四邊形，舍去

         ∴當x=時四邊形OPBD為等腰梯形

         ∴當D(，)時，四邊形OPBD為等腰梯形  

（3）① 當0＜t≤2時，

∵運動速度為每秒個單位長度，運動時間為t秒，

則MP=t    ∴PH=t，MH=t，HN=t   ∴MN=t

∴S=t·t·=t²

        ② 當2＜t＜4時，P₁G=2t－4，P₁H=t

            ∵MN∥OB    ∴ ∽

∴     ∴

            ∴ =3t²－12t+12

∴S=t²－(3t²－12t+12)= －t²+12t－12

∴  當0＜t≤2時，S=t²

 

                  當2＜t＜4時，S=－t²+12t－12