Question

如圖，設(shè)拋物線C₁：y=a（x+1）²-5，C₂：y=-a（x-1）²+5，C₁與C₂的交點(diǎn)為A，B，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，4），點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是-2．
（1）求a的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)D在線段AB上，過D作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)H，在DH的右側(cè)作正三角形DHG．記過C₂頂點(diǎn)M的直線為l，且l與x軸交于點(diǎn)N．
①若l過△DHG的頂點(diǎn)G，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2），求點(diǎn)N的橫坐標(biāo)；
②若l與△DHG的邊DG相交，求點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于兩個(gè)拋物線同時(shí)經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入兩個(gè)拋物線中，即可求得待定系數(shù)的值，進(jìn)而可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）①已知了點(diǎn)D的坐標(biāo)，即可求得正△DGH的邊長，過G作GE⊥DH于E，易求得DE、EH、EG的長；根據(jù)（1）題所求得的C₂的解析式，即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，也就能得到ME、MH的長，易證△MEG∽△MHN，根據(jù)相似三角形所得比例線段，即可求得N點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
②求點(diǎn)N橫坐標(biāo)的取值范圍，需考慮N點(diǎn)橫坐標(biāo)最大、最小兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)D、A重合，且直線l經(jīng)過點(diǎn)G時(shí)，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)最大；解法可參照（2）的思路，過點(diǎn)G作GQ⊥x軸于Q，過點(diǎn)M作MF⊥x軸于F，設(shè)出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，然后分別表示出NQ、NF的長，通過證△NQG∽△NFM，根據(jù)所得比例線段，即可求得此時(shí)N點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
②當(dāng)點(diǎn)D、B重合，直線l過點(diǎn)D時(shí)，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)最小，解法同①．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A（2，4）在拋物線C₁上，
∴把點(diǎn)A坐標(biāo)代入y=a（x+1）²-5得a=1，
∴拋物線C₁的解析式為y=x²+2x-4，
設(shè)B（-2，b），
∴b=-4，
∴B（-2，-4）；

（2）①如圖
∵M(jìn)（1，5），D（1，2），且DH⊥x軸，
∴點(diǎn)M在DH上，MH=5，
過點(diǎn)G作GE⊥DH，垂足為E，
由△DHG是正三角形，可得EG=

3

，EH=1，
∴ME=4，
設(shè)N（x，0），則NH=x-1，
由△MEG∽△MHN，得

ME

MH

=

EG

HN

，
∴

4

5

=

3

x-1

，
∴x=

5

4

3

+1，
∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為

5

4

3

+1；
②當(dāng)點(diǎn)D移到與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖，
直線l與DG交于點(diǎn)G，此時(shí)點(diǎn)N的橫坐標(biāo)最大；
過點(diǎn)G，M作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)Q，F(xiàn)，
設(shè)N（x，0），
∵A（2，4），即AH=4，且△AGH為等邊三角形，
∴∠AHG=60°，HG=AH=4，
∴∠GHQ=30°，又∠GQH=90°，
∴GQ=

1

2

HG=2，HQ=

42-22

=2

3

，
∴OQ=OH+HQ=2+2

3

，
∴G（2+2

3

，2），
∴NQ=x-2-2

3

，NF=x-1，GQ=2，MF=5，
∵△NGQ∽△NMF，
∴

NQ

NF

=

GQ

MF

，
∴

x-2-2 3

x-1

=

2

5

，
∴x=

10 3 +8

3

，
當(dāng)點(diǎn)D移到與點(diǎn)B重合時(shí)，如圖：
直線l與DG交于點(diǎn)D，即點(diǎn)B，
此時(shí)點(diǎn)N的橫坐標(biāo)最��；
∵B（-2，-4），
∴H（-2，0），D（-2，-4），
設(shè)N（x，0），
∵△BHN∽△MFN，
∴

NH

FN

=

BH

MF

，
∴

x+2

1-x

=

4

5

，
∴x=-

2

3

，
∴點(diǎn)N橫坐標(biāo)的范圍為-

2

3

≤x≤

10 3 +8

3

且x≠0．

點(diǎn)評：此題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查二次函數(shù)解析式的確定、等邊三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)；在解答（2）題時(shí)，關(guān)鍵是正確地作圖，構(gòu)造出與所求相關(guān)的相似三角形，然后利用相似三角形的性質(zhì)來求解．