Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)CE、BA交于點(diǎn)F，連接AC、DF．

（1）求證：四邊形ACDF是平行四邊形；

（2）當(dāng)CF平分∠BCD，且BC＝6時(shí)，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）3

【解析】

（1）因?yàn)?/span>BFCD,已經(jīng)有一組對(duì)邊平行我們想到可以運(yùn)用一組對(duì)邊平行且相等這個(gè)判定定理來(lái)證明，所以只需要證明AF=CD就可以通過(guò)證明四邊形AFDC是平行四邊形．

（2）因?yàn)?/span>AE=ED, ,且CF平分,所以是等腰三角形，即ED=DC

證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，AD＝BC，

∴∠FAE＝∠CDE．

∵E是AD的中點(diǎn)，

∴AE＝DE．

在△FAE和△CDE中，，

∴△FAE≌△CDE（AAS），

∴CD＝FA．

又∵CD∥AF，

∴四邊形ACDF是平行四邊形；

（2）解：∵CF平分∠BCD，

∴∠DCE＝45°．

∵∠CDE＝90°，

∴△CDE是等腰直角三角形，

∴CD＝DE．

∵E是AD的中點(diǎn)，

∴CD＝AD＝BC＝3．