Question

（2013•寶應(yīng)縣一模）拋物線(xiàn)y=-x²+bx+c與x軸交與A（1，0），B（-3，0）兩點(diǎn)，
（1）求該拋物線(xiàn)的解析式；
（2）設(shè)（1）中的拋物線(xiàn)與y軸交于C點(diǎn)，在該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長(zhǎng)最小？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)代入可求出b、c的值，繼而可得出該拋物線(xiàn)的解析式；
（2）連接BC，則BC與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)，即是點(diǎn)Q的位置，求出直線(xiàn)BC的解析式后，可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答：解（1）把A（1，0）、B（-3，0）代入拋物線(xiàn)解析式可得：

-1+b+c=0 -9-3b+c=0

，
解得：

b=-2 c=3

故拋物線(xiàn)的解析式為y=-x²-2x+3．

（2）存在．

由題意得，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，連接BC，則BC與拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)是點(diǎn)Q的位置，
設(shè)直線(xiàn)BC解析式為y=kx+b，把B（-3，0）、C（0，3）代入得：

-3k+b=0 b=3

，
解得：

k=1 b=3

，
則直線(xiàn)BC的解析式為y=x+3，
令Q_X=-1 得Q_y=2，
故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（-1，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，涉及了頂點(diǎn)坐標(biāo)的求解、三角形的面積及軸對(duì)稱(chēng)求最短路徑的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是熟練各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，注意培養(yǎng)自己解綜合題的能力．