Question

使得函數(shù)值為零的自變量的值稱為函數(shù)的零點(diǎn)．例如，對(duì)于函數(shù)y=x-1，令y=0，可得x=1，我們就說(shuō)1是函數(shù)y=x-1的零點(diǎn)．
己知函數(shù)y=x²-2mx-2（m+3）（m為常數(shù)）．
（1）當(dāng)m=0時(shí)，求該函數(shù)的零點(diǎn)；
（2）證明：無(wú)論m取何值，該函數(shù)總有兩個(gè)零點(diǎn)；
（3）設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為x₁和x₂，且

1

x1

+

1

x2

=-

1

4

，此時(shí)函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)分別為A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），點(diǎn)M在直線y=x-10上，當(dāng)MA+MB最小時(shí)，求直線AM的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題中給出的函數(shù)的零點(diǎn)的定義，將m=0代入y=x²-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函數(shù)的零點(diǎn)；
（2）令y=0，函數(shù)變?yōu)橐辉�二次方程，要想證明方程有兩個(gè)解，只需證明△＞0即可；
（3）根據(jù)題中條件求出函數(shù)解析式進(jìn)而求得A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，個(gè)、作點(diǎn)B關(guān)于直線y=x-10的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，求出點(diǎn)B′的坐標(biāo)即可求得當(dāng)MA+MB最小時(shí)，直線AM的函數(shù)解析式．

解答：解：（1）當(dāng)m=0時(shí)，該函數(shù)的零點(diǎn)為

6

和-

6

；

（2）令y=0，得△=（-2m）²-4[-2（m+3）]=4（m+1）²+20＞0
∴無(wú)論m取何值，方程x²-2mx-2（m+3）=0總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
即無(wú)論m取何值，該函數(shù)總有兩個(gè)零點(diǎn)．

（3）依題意有x₁+x₂=2m，x₁x₂=-2（m+3）
由

1

x1

+

1

x2

=-

1

4

，
解得m=1．
∴函數(shù)的解析式為y=x²-2x-8．
令y=0，解得x₁=-2，x₂=4
∴A（-2，0），B（4，0）
作點(diǎn)B關(guān)于直線y=x-10的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，
則AB’與直線y=x-10的交點(diǎn)就是滿足條件的M點(diǎn)．
易求得直線y=x-10與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為C（10，0），D（0，-10）．
連接CB′，則∠BCD=45°
∴BC=CB’=6，∠B′CD=∠BCD=45°
∴∠BCB′=90°
即B′（10，-6）
設(shè)直線AB′的解析式為y=kx+b，則

-2k+b=0 10k+b=-6

，
解得：k=-

1

2

，b=-1；
∴直線AB′的解析式為y=-

1

2

x-1，
即AM的解析式為y=-

1

2

x-1．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根的證明及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)，是各地中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，同學(xué)們要加強(qiáng)訓(xùn)練，屬于中檔題．