Question

已知直角坐標(biāo)系中菱形ABCD的位置如圖，C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4，0），（0，3），現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從A，C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿線段AD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿折線CBA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒。
（1）填空：菱形ABCD的邊長(zhǎng)是_______、面積是______、 高BE的長(zhǎng)是_______；
（2）探究下列問(wèn)題：
①若點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位.當(dāng)點(diǎn)Q在線段BA上時(shí)，求△APQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，以及S的最大值；
②若點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)Q的速度變?yōu)槊棵雓個(gè)單位，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，任何時(shí)刻都有相應(yīng)的k值，使得△APQ沿它的一邊翻折，翻折前后兩個(gè)三角形組成的四邊形為菱形，請(qǐng)?zhí)骄慨?dāng)t=4秒時(shí)的情形，并求出k的值。

Answer 1

解：（1）5，24，；

（2）①由題意，得AP=t，AQ=10-2t， 如圖1，過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥AD，垂足為G，由QG∥BE得 △AQG∽△ABE， ∴， ∴QG=，  ∴（≤t≤5）， ∵（≤t≤5）， ∴當(dāng)t=時(shí)，S最大值為6； ② 要使△APQ沿它的一邊翻折，翻折前后的兩個(gè)三角形組成的四邊形為菱形，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，只需△APQ為等腰三角形即可， 當(dāng)t=4秒時(shí)， ∵點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位， ∴AP=4， 以下分兩種情況討論： 第一種情況：當(dāng)點(diǎn)Q在CB上時(shí)， ∵PQ≥BE>PA， ∴只存在點(diǎn)Q1，使Q1A=Q1P， 如圖2，過(guò)點(diǎn)Q1作Q1M⊥AP，垂足為點(diǎn)M，Q1M交 AC于點(diǎn)F，則AM=， 由△AMF∽△AOD∽△CQ1F，得 ， ∴，  ∴， ∴CQ1=，則， ∴， 第二種情況：當(dāng)點(diǎn)Q在BA上時(shí)，存在兩點(diǎn)Q2，Q3，分別使AP=AQ2，PA=PQ3， ①若AP=AQ2， 如圖3，CB+BQ2=10-4=6， 則， ∴， ②若PA=PQ3， 如圖4，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥AB，垂足為N， 由△ANP∽△AEB，得， ∵AE=， ∴AN=， ∴AQ3=2AN=， ∴BC+BQ3=10-， 則， ∴， 綜上所述，當(dāng)t= 4秒，以所得的等腰三角形APQ沿底邊翻折，翻折后得到菱形的k值為或或。