Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），以AB的中點(diǎn)P為圓心，AB為直徑作⊙P的正半軸交于點(diǎn)C．

（1）求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)M為（1）中拋物線的頂點(diǎn)，求直線MC對應(yīng)的函數(shù)解析式；
（3）試說明直線MC與⊙P的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）（2）（3）MC與⊙P的位置關(guān)系是相切

解：（1）∵A（4，0），B（－1，0），
∴AB=5，半徑是PC=PB=PA=。∴OP=。
在△CPO中，由勾股定理得：。∴C（0，2）。
設(shè)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)拋物線解析式是，
把C（0，2）代入得：，∴。
∴。
∴經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)拋物線解析式是，
（2）∵，∴M。
設(shè)直線MC對應(yīng)函數(shù)表達(dá)式是y=kx+b，
把C（0，2），M代入得：，解得。
∴直線MC對應(yīng)函數(shù)表達(dá)式是。

（3）MC與⊙P的位置關(guān)系是相切。證明如下：
設(shè)直線MC交x軸于D，
當(dāng)y=0時，，∴，OD=。∴D（，0）。
在△COD中，由勾股定理得：，
又，，
∴CD²+PC²=PD²。
∴∠PCD=90⁰，即PC⊥DC。
∵PC為半徑，
∴MC與⊙P的位置關(guān)系是相切。
（1）求出半徑，根據(jù)勾股定理求出C的坐標(biāo)，設(shè)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)拋物線解析式是，把C（0，2）代入求出a即可。
（2）求出M的坐標(biāo)，設(shè)直線MC對應(yīng)函數(shù)表達(dá)式是y=kx+b，把C（0，2），M代入得到方程組，求出方程組的解即可。
（3）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)和勾股定理分別求出PC、DC、PD的平方，根據(jù)勾股定理的逆定理得出∠PCD=90⁰，即可作出判斷。