Question

【題目】（本小題滿分12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線（）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線l：與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且CD=4AC．

（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求直線l的函數(shù)表達(dá)式（其中k，b用含a的式子表示）；

（2）點(diǎn)E是直線l上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若△ACE的面積的最大值為，求a的值；

（3）設(shè)P是拋物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，以點(diǎn)A，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為矩形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（－1，0），；（2）；（3）P的坐標(biāo)為（1，）或（1，－4）．

【解析】

試題（1）在中，令y=0，得到，，得到A（－1，0），B（3，0），由直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，得到，故，令，即，由于CD＝4AC，故點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4，即有，得到，從而得出直線l的函數(shù)表達(dá)式；

（2）過(guò)點(diǎn)E作EF∥y軸，交直線l于點(diǎn)F，設(shè)E（，），則F（，），

EF＝=，S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝，故△ACE的面積的最大值為，而△ACE的面積的最大值為，所以 ，解得；

（3）令，即，解得，，得到D（4，5a），因?yàn)閽佄锞�的對(duì)稱軸為，設(shè)P（1，m），然后分兩種情況討論：①若AD是矩形的一條邊，②若AD是矩形的一條對(duì)角線．

試題解析：（1）∵=，令y=0，得到，，∴A（－1，0），B（3，0），∵直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，∴，，∴，令，即，∵CD＝4AC，∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4，∴，∴，∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為；

（2）過(guò)點(diǎn)E作EF∥y軸，交直線l于點(diǎn)F，設(shè)E（，），則F（，），

EF＝=，

S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝

＝＝，

∴△ACE的面積的最大值為，∵△ACE的面積的最大值為，∴ ，解得；

（3）令，即，解得，，∴D（4，5a），∵，∴拋物線的對(duì)稱軸為，設(shè)P（1，m），

①若AD是矩形的一條邊，則Q（－4，21a），m＝21a＋5a＝26a，則P（1，26a），∵四邊形ADPQ為矩形，∴∠ADP＝90°，∴，∴，即 ，∵，∴，∴P1（1，）；

②若AD是矩形的一條對(duì)角線，則線段AD的中點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，），Q（2，），m＝，則P（1，8a），∵四邊形APDQ為矩形，∴∠APD＝90°，∴，∴，即 ，∵，∴，∴P2（1，－4）．

綜上所述，以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能成為矩形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，）或（1，－4）．