【題目】(2013年四川廣安10分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A、B、C三點,已知點A(﹣3,0),B(0,3),C(1,0).

(1)求此拋物線的解析式.

(2)點P是直線AB上方的拋物線上一動點,(不與點A、B重合),過點P作x軸的垂線,垂足為F,交直線AB于點E,作PDAB于點D.

動點P在什么位置時,PDE的周長最大,求出此時P點的坐標;

連接PA,以AP為邊作圖示一側(cè)的正方形APMN,隨著點P的運動,正方形的大小、位置也隨之改變.當頂點M或N恰好落在拋物線對稱軸上時,求出對應的P點的坐標.(結(jié)果保留根號)

【答案】解:(1)拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A(﹣3,0),B(0,3),C(1,0),

,解得。

拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3。

(2)①∵A(﹣3,0),B(0,3),OA=OB=3。∴△AOB是等腰直角三角形。∴∠BAO=45°。

PFx軸,∴∠AEF=90°﹣45°=45°。

PDAB,∴△PDE是等腰直角三角形PD越大,PDE的周長越大

易得直線AB的解析式為y=x+3,

設與AB平行的直線解析式為y=x+m,

聯(lián)立,消掉y得,x2+3x+m﹣3=0,

=32﹣4×1×(m﹣3)=0,即m=時,直線與拋物線只有一個交點,PD最長,

此時x=,y=+=,

點P()時,PDE的周長最大

拋物線y=﹣x2﹣2x+3的對稱軸為直線,

(i)如圖1,點M在對稱軸上時,過點P作PQ對稱軸于Q,

在正方形APMN中,AP=PM,APM=90°,

∴∠APF+FPM=90°,QPM+FPM=90°。

∴∠APF=QPM。

APF和MPQ中,∴△APF≌△MPQ(AAS)。PF=PQ

設點P的橫坐標為n(n<0),則PQ=﹣1﹣n,即PF=﹣1﹣n,點P的坐標為(n,﹣1﹣n)。

點P在拋物線y=﹣x2﹣2x+3上,﹣n2﹣2n+3=﹣1﹣n,整理得,n2+n﹣4=0

解得n1=(舍去),n2=,﹣1﹣n=﹣1﹣=,

點P的坐標為(,

(ii)如圖2,點N在對稱軸上時,設拋物線對稱軸與x軸交于點Q,

∵∠PAF+FPA=90°,PAF+QAN=90°,∴∠FPA=QAN。

∵∠PFA=AQN=90°,PA=AN,∴△APF≌△NAQ。

PF=AQ

設點P坐標為P(x,﹣x2﹣2x+3),

則有﹣x2﹣2x+3=﹣1﹣(﹣3)=2,

解得x=(不合題意,舍去)或x=。

點P坐標為(,2)。

綜上所述,當頂點M恰好落在拋物線對稱軸上時,點P坐標為,,當頂點N恰好落在拋物線對稱軸上時,點P的坐標為,2)。

解析(1)把點A、B、C的坐標代入拋物線解析式,利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可

(2)根據(jù)點A、B的坐標求出OA=OB,從而得到AOB是等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得BAO=45°,然后求出PED是等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),PD越大,PDE的周長最大,再判斷出當與直線AB平行的直線與拋物線只有一個交點時,PD最大,再求出直線AB的解析式為y=x+3,設與AB平行的直線解析式為y=x+m,與拋物線解析式聯(lián)立消掉y,得到關(guān)于x的一元二次方程,利用根的判別式=0列式求出m的值,再求出x、y的值,從而得到點P的坐標

先確定出拋物線的對稱軸,然后(i)分點M在對稱軸上時,過點P作PQ對稱軸于Q,根據(jù)同角的余角相等求出APF=QPM,再利用“角角邊”證明APF和MPQ全等,根據(jù)全等三角形對應邊相等可得PF=PQ,設點P的橫坐標為n,表示出PQ的長,即PF,然后代入拋物線解析式計算即可得解;(ii)點N在對稱軸上時,同理求出APF和ANQ全等,根據(jù)全等三角形對應邊相等可得PF=AQ,根據(jù)點A的坐標求出點P的縱坐標,再代入拋物線解析式求出橫坐標,即可得到點P的坐標。

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月均用水量(噸)

頻數(shù)(戶)

頻率

6

0.12

0.24

16

0.32

10

0.20

4

25

2

0.04

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