Question

已知：如圖所示，在矩形ABCD中，E為AD的中點，EF⊥EC交AB于F，連接FC(AB＞AE) (1) △AEF與△ECF是否相似？若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請說明理由. (2) 設(shè)＝k，是否存在這樣的k值，使得△AEF∽△BCF?若存在，證明你的結(jié)論并求出k的值；若不存在，說明理由

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：相似;延長FE與CD的延長線交于點G．在Rt△AEF與Rt△DEG中，因為E是AD的中點，所以AE＝ED，∠AEF＝∠DEG，所以△AFE≌△DGE，所以∠AFE＝∠DGE，所以E為FG的中點，又CE上FG，所以FC＝GC，所以∠CFE＝∠G，所以∠AFE＝∠EFC．又因為△AEF與△EFC均為直角三角形，所以△AEF∽△ECF
(2)	存在;當(dāng)∠BCF＝∠AEF時，即當(dāng)k＝時，△AEF∽△BCF．證明：當(dāng)時，，所以∠ECG＝，所以∠ECG＝∠ECF＝∠AEF≈，所以∠BCF＝－＝．又因為△AEF與△BCF均為直角三角形，所以△AEF∽△BCF．因為EF不平行于BC，所以∠BCF≠∠AFE，所以不存在第二種相似情況