Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于B，C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)A，直線y＝﹣x+2經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)D，直線MN與對稱軸交于點(diǎn)G，與拋物線交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)N在對稱軸右側(cè)），且MN∥x軸，MN＝7．

（1）求此拋物線的解析式．

（2）求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

（3）過點(diǎn)A的直線與拋物線交于點(diǎn)F，當(dāng)tan∠FAC＝時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

（4）過點(diǎn)D作直線AC的垂線，交AC于點(diǎn)H，交y軸于點(diǎn)K，連接CN，△AHK沿射線AC以每秒1個(gè)單位長度的速度移動，移動過程中△AHK與四邊形DGNC產(chǎn)生重疊，設(shè)重疊面積為S，移動時(shí)間為t（0≤t≤），請直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）點(diǎn)N的坐標(biāo)為（5，-3）；（3）點(diǎn)F的坐標(biāo)為：（3，2）或（，﹣）；（4）．

【解析】

（1）點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（0，2）、（4，0），將點(diǎn)A、C坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式即可求解；

（2）拋物線的對稱軸為：x＝，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為：，即可求解；

（3）分點(diǎn)F在直線AC下方、點(diǎn)F在直線AC的上方兩種情況，分別求解即可；

（4）分0≤t≤、當(dāng)＜t≤、＜t≤三種情況，分別求解即可．

解：（1）直線y＝﹣x+2經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，則點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（0，2）、（4，0），

則c＝2，拋物線表達(dá)式為：y＝﹣x2+bx+2，

將點(diǎn)C坐標(biāo)代入上式并解得：b＝，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+x+2…①；

（2）拋物線的對稱軸為：x＝，

點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為： ，

故點(diǎn)N的坐標(biāo)為（5，-3）；

（3）∵tan∠ACO＝＝tan∠FAC＝，

即∠ACO＝∠FAC，

①當(dāng)點(diǎn)F在直線AC下方時(shí)，

設(shè)直線AF交x軸于點(diǎn)R，

∵∠ACO＝∠FAC，則AR＝CR，

設(shè)點(diǎn)R（r，0），則r2+4＝（r﹣4）2，解得：r＝，

即點(diǎn)R的坐標(biāo)為：（，0），

將點(diǎn)R、A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝mx+n得：，

解得：，

故直線AR的表達(dá)式為：y＝﹣x+2…②，

聯(lián)立①②并解得：x＝，故點(diǎn)F（，﹣）；

②當(dāng)點(diǎn)F在直線AC的上方時(shí)，

∵∠ACO＝∠F′AC，∴AF′∥x軸，

則點(diǎn)F′（3，2）；

綜上，點(diǎn)F的坐標(biāo)為：（3，2）或（，﹣）；

（4）如圖2，設(shè)∠ACO＝α，則tanα＝，則sinα＝，cosα＝；

①當(dāng)0≤t≤時(shí)（左側(cè)圖），

設(shè)△AHK移動到△A′H′K′的位置時(shí)，直線H′K′分別交x軸于點(diǎn)T、交拋物線對稱軸于點(diǎn)S，

則∠DST＝∠ACO＝α，過點(diǎn)T作TL⊥KH，

則LT＝HH′＝t，∠LTD＝∠ACO＝α，

則DT＝，DS＝，

S＝S△DST＝DT×DS＝；

②當(dāng)＜t≤時(shí)（右側(cè)圖），

同理可得：

S＝＝DG×（GS′+DT′）＝3+（+﹣）＝；

③當(dāng)＜t≤時(shí)，同理可得S=；

綜上，S＝．