Question

（2012•李滄區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC，∠C=90°，AC=6cm，AB=10cm，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CA邊以1cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原來(lái)的速度沿AC返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以1cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止．伴隨著P、Q運(yùn)動(dòng)，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點(diǎn)D，交折線BC（或AB或CA）于點(diǎn)E．設(shè)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（0＜t＜10）．
（1）當(dāng)t=2s時(shí)，求AP的長(zhǎng)．
（2）設(shè)△APQ的面積為S（cm²），圖中，當(dāng)點(diǎn)P從C向A運(yùn)功的過(guò)程中，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，是否存在某一時(shí)刻t，使△APQ的面積是△ABC面積的

1

12

？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說(shuō)明理由；
（4）當(dāng)點(diǎn)E從B向C運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，求t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)t=2時(shí)，CP=2，則AP=4；
（2）作QF⊥AC于點(diǎn)F，則△AQF∽△ABC，得出

QF

BC

=

AQ

AB

，又AQ=CP=t，則AP=6-t，則得出S與t的函數(shù)關(guān)系式即可；
（3）根據(jù)△ABC面積的

1

12

=24×

1

12

=2，再利用S=-

2

5

t²+

12

5

t=2，求出即可；
（4）①當(dāng)DE∥QB時(shí)，則四邊形QBED是直角梯形，由△APQ∽△ABC，得

AQ

AC

=

AP

AB

，即求得t，
②當(dāng)PQ∥BC時(shí)，DE⊥BC，四邊形QBED是直角梯形，由△AQP∽△ABC，得

AQ

AB

=

AP

AC

，解得t．

解答：解：（1）∵t=2，∴CP=2cm，
∵AC=6cm，∴AP=4cm；

（2）如圖1，作QF⊥AC于點(diǎn)F．
∴△AQF∽△ABC，
∴

QF

BC

=

AQ

AB

，
又∵AQ=CP=t，∴AP=6-t，BC=

102-62

=8（cm），
∴

QF

8

=

t

10

，
∴QF=

4

5

t，
∴S=

1

2

（6-t）•

4

5

t，
即S=-

2

5

t²+

12

5

t；

（3）∵△ABC面積為：

1

2

×AC×BC=

1

2

×6×8=24，
∴△ABC面積的

1

12

=24×

1

12

=2，
∴S=-

2

5

t²+

12

5

t=2，
整理得出：t ²-6t+5=0，
解得：t₁=1，t₂=5，
即當(dāng)t=1或5秒時(shí)，使△APQ的面積是△ABC面積的

1

12

；

（4）能．
①如圖2，當(dāng)DE∥QB時(shí)．
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四邊形QBED是直角梯形，
此時(shí)∠AQP=90°．
由△APQ∽△ABC，
得

AQ

AC

=

AP

AB

，
∴

t

6

=

6-t

10

，
解得t=

9

4

；
②如圖3，當(dāng)PQ∥BC時(shí)，DE⊥BC，四邊形QBED是直角梯形．
此時(shí)∠APQ=90°．
由△AQP∽△ABC，得

AQ

AB

=

AP

AC

，
即

t

10

=

6-t

6

．
解得t=

15

4

．
綜上，可知當(dāng)t=

9

4

或

15

4

時(shí)，四邊形QBED能成為直角梯形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理和三角形面積求法等知識(shí)，是中考?jí)狠S題，注意分類討論思想的應(yīng)用．