Question

如圖，Rt△AB′C′是由Rt△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到的，連接CC′交斜邊于點E，CC′的延長線交BB′于點F．
（1）若AC=3，AB=4，求

CC′

BB′

；
（2）證明：△ACE∽△FBE；
（3）設(shè)∠ABC=α，∠CAC′=β，試探索α、β滿足什么關(guān)系時，△ACE與△FBE是全等三角形，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以證得：△ACC′∽△ABB′，即可求解；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以證得：AC=AC′，AB=AB′，∠CAB=∠C′AB′，再根據(jù)∠AEC=∠FEB即可證明兩個三角形相似；
（3）當(dāng)β=2α?xí)r，△ACE≌△FBE．易證∠ABC=∠BCE，再根據(jù)CE=BE，即可證得．

解答：（1）解：∵AC=AC′，AB=AB′，
∴

AC′

AC

=

AB′

AB

由旋轉(zhuǎn)可知：∠CAB=∠C′AB′，
∴∠CAB+∠EAC′=∠C′AB′+∠EAC′，即∠CAC′=∠BAB′，
又∵∠ACB=∠AC′B′=90°，
∴△ACC′∽△ABB′，
∵AC=3，AB=4，
∴

CC′

BB′

=

AC

AB

=

3

4

；

（2）證明：∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到的，
∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAB=∠C′AB′，（1分）
∴∠CAC′=∠BAB′，
∴∠ABB′=∠AB′B=∠ACC′=∠AC′C，
∴∠ACC′=∠ABB′，（3分）
又∵∠AEC=∠FEB，
∴△ACE∽△FBE．（4分）

（3）解：當(dāng)β=2α?xí)r，△ACE≌△FBE．理由：
在△ACC′中，
∵AC=AC′，
∴∠ACC′=∠AC′C=

180°-∠CAC′

2

=

180°-β

2

=

180°-2α

2

=90°-α，（6分）
在Rt△ABC中，
∠ACC′+∠BCE=90°，
即90°-α+∠BCE=90°，
∴∠BCE=90°-90°+α=α，
∵∠ABC=α，
∴∠ABC=∠BCE，（8分）
∴CE=BE，
由（2）知：△ACE∽△FBE，
∴△ACE≌△FBE．（9分）

點評：本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與應(yīng)用，正確理解圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．