Question

先閱讀下面的材料，然后解答問題：
在一條直線上有依次排列的n（n＞1）臺機(jī)床工作，我們要設(shè)置一個(gè)零件供應(yīng)站P，使這n臺機(jī)床到供應(yīng)站P的距離總和最小，要解決這個(gè)問題先“退”到比較簡單的情形．
如圖（1），如果直線上有2臺機(jī)床時(shí)，很明顯設(shè)在A₁和A₂之間的任何地方都行，因?yàn)榧缀鸵宜�走的距離之和等于A₁到A₂的距離．

如圖（2），如果直線上有3臺機(jī)床時(shí)，不難判斷，供應(yīng)站設(shè)在中間一臺機(jī)床，A₂處最合適，因?yàn)槿绻鸓不放在A₂處，甲和丙所走的距離之和恰好是A₁到A₃的距離，可是乙還得走從A₂到P的這一段，這是多出來的，因此P放在A₂處最佳選擇．
不難知道，如果直線上有4臺機(jī)床，P應(yīng)設(shè)在第二臺與第3臺之間的任何地方，有5臺機(jī)床，P應(yīng)設(shè)在第3臺位置．
問題：（1）有n臺機(jī)床時(shí)，P應(yīng)設(shè)在何處？
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-617|的最小值．

Answer 1

分析：（1）分n為偶數(shù)時(shí)，n為奇數(shù)時(shí)兩種情況討論P(yáng)應(yīng)設(shè)的位置．
（2）根據(jù)絕對值的幾何意義，找到1和617正中間的點(diǎn)，即可求出|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-617|的最小值．

解答：解：（1）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，P應(yīng)設(shè)在第

n

2

臺和（

n

2

+1）臺之間的任何地方，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，P應(yīng)設(shè)在第

n+1

2

臺的位置．

（2）根據(jù)絕對值的幾何意義，求|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-617|的最小值
就是在數(shù)軸上找出表示x的點(diǎn)，使它到表示1，617各點(diǎn)的距離之和最小，根據(jù)問題1的結(jié)論，當(dāng)x=309時(shí)，原式的值最小，最小值是308+307+…+1+1+2+…+308=95172．

點(diǎn)評：本題需要運(yùn)用分類討論思想，主要考查了學(xué)生的觀察、實(shí)驗(yàn)和猜想、歸納能力，掌握從特殊到一般猜想的方法．