Question

【題目】如圖所示，已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°.作∠BAC的平分線AM交BC于點D，在所作圖形中，將Rt△ABC沿某條直線折疊，使點A與點D重合，折痕EF交AC于點E，交AB于點F，連接DE、DF，再展回到原圖形，得到四邊形AEDF.

（1）試判斷四邊形AEDF的形狀，并證明；

（2）若AB=10，BC=8，在折痕EF上有一動點P，求PC+PD的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）PC+PD的最小值為：6.

【解析】

（1）根據對稱性，圍繞證明對角線互相垂直平分找條件；

（2）求線段和最小的問題，P點的確定方法是：找D點關于直線EF的對稱點A，再連接AC，AC與直線EF的交點即為所求．

解：（1）四邊形AEDF為菱形，

證明：由折疊可知，EF垂直平分AD于G點，
又∵AD平分∠BAC，
∴△AEG≌△AFG，

∴GE=GF，

∵EF垂直平分AD，

∴EF、AD互相垂直平分，
∴四邊形AEDF為菱形（對角線互相垂直平分的四邊形是菱形）．
（2）已知D點關于直線EF的對稱點為A，AC與EF的交點E即為所求的P點，
PC+PD的最小值為：CP+DP=CE+DE=CE+AE=AC= =6．

故答案為：（1）見解析；（2）PC+PD的最小值為：6.