Question

唐朝詩人李欣的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望峰火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題--將軍飲馬問題：
如圖1所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發(fā)，走到河旁邊的P點飲馬后再到B點宿營．請問怎樣走才能使總的路程最短？
作法如下：如（1）圖，從B出發(fā)向河岸引垂線，垂足為D，在AP的延長線上，取B關(guān)于河岸的對稱點B′，連接AB′，與河岸線相交于P，則P點就是飲馬的地方，將軍只要從A出發(fā)，沿直線走到P，飲馬之后，再由P沿直線走到B，所走的路程就是最短的．
（1）觀察發(fā)現(xiàn)
再如（2）圖，在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，點E、F是底邊AD與BC的中點，連接EF，在線段EF上找一點P，使BP+AP最短．
作點B關(guān)于EF的對稱點，恰好與點C重合，連接AC交EF于一點，則這點就是所求的點P，故BP+AP的最小值為

 

．

（2）實踐運用
如（3）圖，已知⊙O的直徑MN=1，點A在圓上，且∠AMN的度數(shù)為30°，點B是弧AN的中點，點P在直徑MN上運動，求BP+AP的最小值．

（3）拓展遷移
如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸為x=1，且拋物線經(jīng)過A（-1，0）、C（0，-3）兩點，與x軸交于另一點B．
①求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
②在拋物線的對稱軸直線x=1上找到一點M，使△ACM周長最小，請求出此時點M的坐標(biāo)與△ACM周長最小值．（結(jié)果保留根號）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)軸對稱中最短路線問題，可以得出AC的長即為BP+AP的最小值，利用三角函數(shù)關(guān)系求出即可；
（2）根據(jù)軸對稱中最短路線問題，得出BP′+AP′=BP′+A′P′=A′B，即A′B是BP+AP的最小值，求出即可；
（3）運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，再求出直線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，當(dāng)AM+CM取最小值時，△ACM周長最小值，求出AM+CM最小值，即可得出．

解答：解：（1）∵在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，點E、F是底邊AD與BC的中點，
∴∠DAC=∠DCA=30°，
∴∠ACB=30°，
∴∠BAC=90°，
∴tan∠ACB=

AB

AC

，
∴AC=

2

3 3

=2

3

，
故答案為：2

3

；

（2）如圖，作點A關(guān)于MN的對稱點A′，則A′在⊙O上，
連接BA′交MN于P′點，此時BP′+AP′最小．
由對稱性可知AP′=A′P′，
∴BP′+AP′=BP′+A′P′=A′B，
連接OA、OB、OA′，
可知弧AN=弧A′N，
則∠NOA′=∠NOA=2∠M=60°，
而點B為弧AN中點，
∴∠BON=30°
∴∠BOA′=90°
而MN=1，
∴在Rt△OA′B中，A′B=

2

2

即BP+AP的最小值

2

2

．

（3）①∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸為x=1，且拋物線經(jīng)過A（-1，0）、
C（0，-3）兩點，分別代入二次函數(shù)解析式得：
∴

- b 2a =1 a-b+c=0 c=-3

，
解得：a=1，b=-2，c=-3，
∴二次函數(shù)解析式為：y=x²-2x-3，
②得到直線BC：y=x-3，
∴M（1，-2），AC的長為：

10

，
∴△ACM周長最小值即是：AM+CM最小時的值，
∵AM+CM=BC=3

2

，
∴△ACM周長最小值為：

10

+3

2

．

點評：此題主要考查了軸對稱中最短路線問題以及圓周角定理和二次函數(shù)解析式的求法等知識，題目綜合性較強，利用軸對稱求最小值問題，是近幾年中考中熱點問題，應(yīng)該引起同學(xué)們的注意．