Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點C（-3，4），A為x軸正半軸上一點，已知四邊形OABC為菱形，BC交y軸于點D 
（1）求過點A、O、C的拋物線解析式；
（2）線段CB上是否存在這樣的點P：當(dāng)點P繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后恰好落在（1）所求的拋物線上？若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由菱形的性質(zhì)得OC=OA=BC，則OD⊥BC，由勾股定理得出OC，即可求出點A的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為y=ax（x-5），把C（-3，4）代入得a即可得出拋物線的解析式；
（2）設(shè)P（x，4）旋轉(zhuǎn)90°到P′，可得出x，代入可求得y，從而得出點P的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵OABC為菱形，
∴BC∥OA，OC=OA=BC，
∴OD⊥BC，
∵C（-3，4），
∴CD=3，OD=4，
∴OC=

OD2+CD2

=5，
∴A（5，0），
設(shè)拋物線的解析式為y=ax（x-5），
把C（-3，4）代入得24a=4，
解得a=

1

6

，
∴y=

1

6

x（x-5）=

1

6

x²-

5

6

x．

（2）由點A，O，C在拋物線y=

1

6

x²-

5

6

x上，可得拋物線必過原點，又已知四邊形OABC為菱形，所以CB垂直y軸，其解析式為y=4，由此可設(shè)P為（a，4），因為點P繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，可以看做△OPD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°到△OP₁D₁，且這兩三角形全等，所以P₁點坐標(biāo)為（4，-a），又因為P₁點正好落在拋物線y=

1

6

x²-

5

6

x上，所以把P₁點代入，可得a=-

2

3

，即P（-

2

3

，4）．

點評：本題是一道二次函數(shù)的題，考查了菱形的性質(zhì)、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，是一道難度不大的題目．