Question

（2013•義烏市）如圖，直線l₁⊥x軸于點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B是直線l₁上的動(dòng)點(diǎn)．直線l₂：y=x+1交l₁于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作直線l₃垂直于l₂，垂足為D，過(guò)點(diǎn)O，B的直線l₄交l₂于點(diǎn)E，當(dāng)直線l₁，l₂，l₃能圍成三角形時(shí)，設(shè)該三角形面積為S₁，當(dāng)直線l₂，l₃，l₄能圍成三角形時(shí)，設(shè)該三角形面積為S₂．
（1）若點(diǎn)B在線段AC上，且S₁=S₂，則B點(diǎn)坐標(biāo)為

（2，0）

；
（2）若點(diǎn)B在直線l₁上，且S₂=

3

S₁，則∠BOA的度數(shù)為

15°或75°

．

Answer 1

分析：（1）設(shè)B的坐標(biāo)是（2，m），則△BCD是等腰直角三角形，即可表示出S₁，求得直線l₁的解析式，解方程組即可求得E的坐標(biāo)，則S₂的值即可求得，根據(jù)S₁=S₂，即可得到一個(gè)關(guān)于m的方程從而求得m的值；
（2）根據(jù)S₂=

3

S₁，即可得到一個(gè)關(guān)于m的方程從而求得m的值，得到AB的長(zhǎng)，從而求得∠BOA的正切值，求得角的度數(shù)．

解答：解：（1）設(shè)B的坐標(biāo)是（2，m），則△BCD是等腰直角三角形．
BC=|3-m|，
則BD=CD=

2

2

BC=

2

2

|3-m|，S₁=

1

2

×（

2

2

|3-m|）²=

1

4

（3-m）²．
設(shè)直線l₄的解析式是y=kx，則2k=m，解得：k=

m

2

，
則直線的解析式是y=

m

2

x．
根據(jù)題意得：

y= m 2 x y=x+1

，解得：

x= 2 m-2 y= m m-2

，
則E的坐標(biāo)是（

2

m-2

，

m

m-2

）．
S_△BCE=

1

2

BC•|

2

m-2

-2|=

1

2

|3-m|•|

6-2m

m-2

|=

(3-m)2

|m-2|

．
∴S₂=S_△BCE-S₁=

(3-m)2

|m-2|

-

1

4

（3-m）^{2_{．
當(dāng)}}S₁=S₂時(shí)，

(3-m)2

|m-2|

-

1

4

（3-m）²=

1

4

（3-m）²．
解得：m₁=4（不合題意舍去）或m₂=0，
則B的坐標(biāo)是（2，0）；

（2）當(dāng)S₂=

3

S₁時(shí)，

(3-m)2

|m-2|

-

1

4

（3-m）²=

3

4

（3-m）²．
解得：m=4+2

3

或4-2

3

．
則AB=4+2

3

或4-2

3

．
∴tan∠BOA=2+

3

或2-

3

．
∴∠BOA=75°或15°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)與三角函數(shù)，三角形的面積，正確表示出S₂是關(guān)鍵．