如圖.△ABC是等腰直角三角形,四邊形ADEF是正方形,D、F分別在AB、AC邊上,此時BD=CF,BD⊥CF成立.

(1)當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉(0°<<90°)時,如圖,BD=CF成立嗎?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.

(2)當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉45°時,如圖,延長BD交CF于點G.

①求證:BD⊥CF;

②當AB=4,AD=時,求線段BG的長.

答案:
解析:

  解:(1)BD=CF成立.

  理由:∵△ABC是等腰直角三角形,四邊形ADEF是正方形,

  ∴AB=AC,AD=AF,∠BAC=∠DAF=90°,

  ∵∠BAD=,

  ∠CAF=

  ∴∠BAD=∠CAF,

  ∴△BAD≌△CAF.

  ∴BD=CF.(3分)

  (2)①證明:設BG交AC于點M.

  ∵△BAD≌△CAF(已證),∴∠ABM=∠GCM.

  ∵∠BMA=∠CMG,∴△BMA∽△CMG.

  ∴∠BGC=∠BAC=90°.∴BD⊥CF.(6分)

 、谶^點F作FN⊥AC于點N.

  ∵在正方形ADEF中,AD=,

  ∴AN=FN=

  ∵在等腰直角△ABC中,AB=4,

  ∴CN=AC-AN=3,BC=

  ∴在Rt△FCN中,

  ∴在Rt△ABM中,

  ∴AM=

  ∴CM=AC-AM=4-,.(9分)

  ∵△BMA∽△CMG,∴

  ∴

  ∴CG=.(11分)

  ∴在Rt△BGC中,.(12分)


練習冊系列答案
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2
,那么PP′=
 

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(結果保留π).

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