Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的邊長為12，BM=CN=5，CM，DN交于點O．則下列結(jié)論：
①DN⊥MC；②DN垂直平分MC；③sin∠OCD= ；④S△ODC=S四邊形BMON中，
正確的有（填寫序號）

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形， ∴BC=CD，∠ABC=∠BCD=90°，
在△BMC和△CND中，
，
∴△BMC≌△CND，
∴∠MCB=∠NDC．
又∠MCN+∠MCD=90°，
∴∠MCD+∠NDC=90°，
∴∠DOC=90°，
∴DN⊥MC，故①正確；
在Rt△CDN中，∵CD=12，CN=5，
∴DN= =13．
又∵∠BCD=90°，∠COD=90°
∴ NCCD= NDOC，
∴OC= ，OM=13﹣ = ，
∴OC≠OM，故②錯誤；
∵∠DNC+∠NDC=90°，∠ODC+∠OCD=90°，
∴∠OCD=∠DNC，
∴sin∠OCD=sin∠DNC= = ，故③正確；
∵△BMC≌△CND，
∴S△BMC=S△CND
S△BMC﹣S△CNC=S△CND﹣S△CNC ， 即S四邊形BMON=S△ODC ， 故④正確．
綜上，正確的結(jié)論是①③④．
所以答案是①③④．
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和正方形的性質(zhì)的相關知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．