Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B；拋物線(xiàn)（a≠0）過(guò)A，B兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)C(-1，0)，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）在直線(xiàn)AB上方的拋物線(xiàn)上有一動(dòng)點(diǎn)E，求出點(diǎn)E到直線(xiàn)AB的距離的最大值；

（3）如圖2，直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸相交于點(diǎn)F，點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)P到直線(xiàn) BD，DF的距離相等，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）E到直線(xiàn)AB的距離的最大值為；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0,1），（，0），（0,），（7，0）．

【解析】

（1）由一次函數(shù)求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再將A，C坐標(biāo)代入中即可解答；

（2）通過(guò)證明△ENM∽△AOB，得到EN=，設(shè)E（m，），M（m，），表達(dá)出EM，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值；
（3）分當(dāng)點(diǎn)P在∠BDF平分線(xiàn)上、外角平分線(xiàn)上兩種情況，分別求解即可．

解：（1）在中，當(dāng)x=0時(shí)，y=；當(dāng)y=0時(shí)，x=3，

即A(3，0)，B(0，)，

將A(3，0)，C(－1，0)代入得：

，解得：，

∴拋物線(xiàn)的解析式為：．

（2）過(guò)點(diǎn)E作EM⊥x軸交AB于M，過(guò)E作EN⊥AB于N，

點(diǎn)E到AB的距離為EN，

∵EM∥y軸，

∴∠EMN=∠OBA，

又∵∠ENM=∠AOB，

∴△ENM∽△AOB，

∴,

在Rt△AOB中，OA=3，OB=，

由勾股定理得：AB=，

∴，

即EN=，

設(shè)E（m，），M（m，），

則EM=－（）=，

∴EN=

=

=，

∴當(dāng)m=時(shí)，E到直線(xiàn)AB的距離的最大值為．

（3）∵點(diǎn)P到直線(xiàn)BD，DF的距離相等，

∴點(diǎn)P在∠BDF或∠BDF鄰補(bǔ)角的平分線(xiàn)上，如圖所示，

由，則 D點(diǎn)坐標(biāo)為（1,3），

∵B（0，），

∴BD=，

∵DP平分∠BDF，

∴∠BDP=∠PDF，

∵DF∥y軸，

∴∠BPD=∠PDF，

∴∠BPD=∠BDP,

∴BD=BP，

∴P(0,1),

設(shè)直線(xiàn)PD的解析式為：y=kx+n，

∴n=1，k+n=3，

即直線(xiàn)PD的解析式為：y=2x+1，

當(dāng)y=0時(shí)，x=，

∴當(dāng)P在∠BDF的角平分線(xiàn)上時(shí)，坐標(biāo)為（0,1）或（，0）；

同理可得：當(dāng)P在∠BDF鄰補(bǔ)角的平分線(xiàn)上時(shí)，坐標(biāo)為：（0,）或（7，0），

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0,1），（，0），（0,），（7，0）．