【題目】如圖,已知直線和雙曲線(k為正整數(shù))交于A,B兩點.

(1)當k=1時,求A、B兩點的坐標;

(2)當k=2時,求△AOB的面積;

(3)當k=1時,△OAB的面積記為S1,當k=2時,△OAB的面積記為S2,…,依此類推,當k=n時,△OAB的面積記為Sn,若S1+S2+…+Sn=,求n的值.

【答案】(1) (2) (3)

【解析】試題分析:1)由k=1得到直線和雙曲線的解析式,組成方程組,求出方程組的解,即可得到A、B兩點的坐標;(2)先由k=2得到直線和雙曲線的解析式,組成方程組,求出方程組的解,即可得到AB兩點的坐標;再求出直線AB的解析式,得到直線ABy軸的交點(0,2),利用三角形的面積公式,即可解答.(3)根據(jù)當k=1時,S1=×1×1+2=,當k=2時,S2=×2×1+3=4,得到當k=n時,Sn=n1+n+1=n2+n,根據(jù)若S1+S2+…+Sn=,列出等式,即可解答.

試題解析:(1k=1,直線y=x+k和雙曲線化為:y=x+1y= ,

,

A(1,2),B(2,1),

(2)k=2,直線y=x+k和雙曲線化為:y=x+2y=,

,

A(1,3),B(3,1)

設(shè)直線AB的解析式為:y=mx+n,

,

∴直線AB的解析式為:y=x+2

∴直線ABy軸的交點(0,2),

SOB=×2×1+×2×3=4

(3)k=1,S1=×1×(1+2)= ,

k=2,S2=×2×(1+3)=4,

k=n,Sn=n(1+n+1)= n2+n,

S1+S2+…+Sn=

×(12+22+32+…+n2)+(1+2+3+…n)= ,

整理得: ×n(n+1)(2n+1)6+n(n+1)2=,

解得:n=6.

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