Question

（2004•荊門）如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)P（1，-1）為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）過點(diǎn)A、B，且頂點(diǎn)C在⊙P上．
（1）求⊙P上劣弧AB的長(zhǎng)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使線段OC與PD互相平分？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求劣弧AB的長(zhǎng)，就要先知道劣弧AB所對(duì)的圓心角的度數(shù)．過P作AB的垂線設(shè)垂足為M，那么在Rt△PMB中，根據(jù)圓的半徑及P點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可求出∠BPM的度數(shù)，也就能求出∠APB的度數(shù)．然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求出劣弧AB的長(zhǎng)；
（2）在Rt△PMB中，根據(jù)PB即半徑的長(zhǎng)以及PM即P點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值即可求出BM的長(zhǎng)，也就求出了AB的值，由于A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線x=1對(duì)稱，由此可確定A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．根據(jù)圓和拋物線的對(duì)稱性，C點(diǎn)必在直線PM上，根據(jù)P點(diǎn)的坐標(biāo)和圓的半徑的長(zhǎng)即可得出C點(diǎn)的坐標(biāo)．根據(jù)求出的A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（3）根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)可知：當(dāng)線段OC與PD互相平分時(shí)，四邊形OPCD是平行四邊形，因此D點(diǎn)在y軸上，且OD=PC=2，因此D點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-2）然后代入拋物線的解析式中即可判斷出D是否在拋物線上．
解答：解：（1）如圖，連接PB，過P作PM⊥x軸，垂足為M，
在Rt△PMB中，PB=2，PM=1，
∴∠MPB=60°，
∴∠APB=120°
的長(zhǎng)=；

（2）在Rt△PMB中，PB=2，PM=1，則MB=MA=，又OM=1，
∴A（1-，0），B（1+，0），
由拋物線及圓的對(duì)稱性得知點(diǎn)C在直線PM上，
則C（1，-3）．
點(diǎn)A、B、C在拋物線上，則
解之得，
∴拋物線解析式為y=x²-2x-2；

（3）假設(shè)存在點(diǎn)D，使OC與PD互相平分，則四邊形OPCD為平行四邊形，且PC∥OD，
又PC∥y軸，
∴點(diǎn)D在y軸上，
∴OD=2，即D（0，-2），
又點(diǎn)D（0，-2）在拋物線y=x²-2x-2上，
故存在點(diǎn)D（0，-2），使線段OC與PD互相平分．
點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、弧長(zhǎng)計(jì)算公式、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．