Question

【題目】如圖，AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，得到下面四個(gè)結(jié)論：①OA=OD；②AD⊥EF；③當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，四邊形AEDF是正方形；④AE2+DF2=AF2+DE2．其中正確的是（　�。�

A. ②③ B. ②④ C. ②③④ D. ①③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

OA不一定等于OD；由AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得DE=DF，繼而證得AE=AF，則可得AD是EF的垂直平分線；判定AD⊥EF；又由當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，可得四邊形AEDF矩形，繼而證得四邊形AEDF是正方形；由AE=AF，DE=DF，即可判定AE2+DF2=AF2+DE2．

∵AD是EF的垂直平分線，

∴OE=OF，OA不一定等于OD，故①錯(cuò)誤；

∵AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，

∴DE=DF，

∵∠ADE=90°-∠DAE，∠ADF=90°-∠DAF，

∴∠ADE=∠ADF，

∴AE=AF，

∴點(diǎn)A在EF的垂直平分線上，點(diǎn)D在EF的垂直平分線上，

∴AD是EF的垂直平分線，

即AD⊥EF，故②正確；

∵∠AED=∠EFD=90°，

∴當(dāng)∠A=90°時(shí)，四邊形AEDF是矩形，

∵DE=DF，

∴四邊形AEDF是正方形，故③正確；

∵AE=AF，DE=DF，

∴AE2+DF2=AF2+DE2，∴④正確，

所以正確的是：②③④，

故選C.