Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接OD、DE．

（1）求證：DE是⊙O的切線(xiàn)；

（2）若∠BAC＝30°，AB＝12，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）連接DB，根據(jù)圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)證明；

（2）根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可．

（1）證明：連接DB，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

∴∠CDB＝90°，

∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，

∴DE＝CE＝BC，

∴∠EDC＝∠C，

∵OA＝OD，

∴∠A＝∠ADO，

∵∠ABC＝90°，

∴∠A+∠C＝90°，

∴∠ADO+∠EDC＝90°，

∴∠ODE＝90°，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切線(xiàn)；

（2）∵AB＝12，∠BAC＝30°，

∴AD＝6，

陰影部分的面積＝﹣×6×3＝12π﹣9．