Question

如圖邊長(zhǎng)為1的正方形OABC的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上．動(dòng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上移動(dòng)（不與B、C重合），連接OD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥OD，交邊AB于點(diǎn)E，記CD的長(zhǎng)為t．
（1）點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，能否看作是點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)OE對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，為什么？
（2）用t的代數(shù)式表示BE的長(zhǎng)？
（3）當(dāng)t=

1

4

時(shí)，求直線(xiàn)DE的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）如果點(diǎn)D看作是點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)OE對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，那么根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得出OD=OA=1，而在直角△OCD中，OC=1，與直角三角形中斜邊最長(zhǎng)相矛盾，故點(diǎn)D不能看作是點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)OE對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)；
（2）根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似，證明出△OCD∽△DBE，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式，從而可用含t的代數(shù)式表示BE的長(zhǎng)；
（3）把t=

1

4

代入（2），求出BE的長(zhǎng)，即可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，

13

16

），又由點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

1

4

，1），由待定系數(shù)法即可求得直線(xiàn)DE的解析式．

解答：解：（1）點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，不能看作是點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)OE對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．理由如下：
假設(shè)點(diǎn)D是點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)OE對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，那么△ODE≌△OAE，
∴OD=OA=1，
而在直角△OCD中，OC=1，
∴OC=OD，
又∵動(dòng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上移動(dòng)，不與C重合，
∴這與直角三角形中斜邊最長(zhǎng)相矛盾，
故點(diǎn)D不能看作是點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)OE對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)；

（2）如圖，∵四邊形OABC是正方形，且DE⊥OD，
∴∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3．
又∵∠OCD=∠B=90°，
∴△OCD∽△DBE，
∴

CD

BE

=

CO

BD

．
又∵CD=t，CO=1，BD=BC-CD=1-t，
∴

t

BE

=

1

1-t

，
∴BE=-t²+t；

（3）當(dāng)t=

1

4

時(shí)，BE=-t²+t=

3

16

，
∴AE=AB-BE=1-

3

16

=

13

16

，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，

13

16

）．
設(shè)直線(xiàn)DE的解析式為y=kx+b，
又∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

1

4

，1），
∴

k+b= 13 16 1 4 k+b=1

，
解得

k=- 1 4 b= 17 16

直線(xiàn)DE的解析式為y=-

1

4

x+

17

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，一次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．本題中用相似三角形的性質(zhì)得出比例關(guān)系，然后用線(xiàn)段的比例關(guān)系和CD表示出BE是解題的關(guān)鍵．