Question

如圖（1），矩形ABCD的一邊BC在直角坐標(biāo)系中x軸上，折疊邊AD,使點(diǎn)D落在x軸上點(diǎn)F處，折痕為AE，已知AB=8，AD=10，并設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為（m,0），其中m＞0.

（1）求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)（用含m的式子表示）；（3分）

（2）連接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；（3分）

（3）如圖（2），設(shè)拋物線y=a(x－m－6)²+h經(jīng)過(guò)A、E兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為M，連接AM，

若∠OAM=90°，求a、h、m的值. （4分）

Answer 1

 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC=10，AB=CD=8，∠D=∠DCB=∠ABC=90°.

由折疊對(duì)稱性：AF=AD=10，F(xiàn)E=DE.

在Rt△ABF中，BF=.

∴FC=4.

設(shè)DE=x,在Rt△ECF中，4²+（8-x）²=x²，解得x=5.

∴CE=8-x=3.

∵B（m，0）,∴E(m+10,3),F（m+6,0）. （3分）

（2）分三種情形討論：

若AO=AF，∵AB⊥OF，∴OB=BF=6.∴m=6.

若OF=AF，則m+6=10，解得m=4.  

若AO=OF，在Rt△AOB中，AO²=OB²+AB²=m²+64，

∴（m+6）²= m²+64，解得m=.   

綜合得m=6或4或.

（3）由（1）知A(m,8)，E(m+10,3).

依題意，得， 解得  

∴M（m+6，﹣1）.

設(shè)對(duì)稱軸交AD于G.

∴G（m+6,8），∴AG=6，GM=8－（﹣1）=9.

∵∠OAB+∠BAM=90°，∠BAM+∠MAG=90°，

∴∠OAB=∠MAG.

又∵∠ABO=∠MGA=90°，

∴△AOB∽△AMG.   ∴，即.∴m=12.