Question

某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場銷售單價(jià)y與上市時(shí)間t的關(guān)系可以近似地用圖①的一條折線表示；西紅柿的種植成本單價(jià)z與上市時(shí)間t的關(guān)系可以近似地用圖②的一段拋物線表示．

（1）直接寫出圖①表示的市場銷售單價(jià)y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求出圖②中表示的種植成本單價(jià)z與上市時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）認(rèn)定市場銷售單價(jià)減去種植成本單價(jià)為純收益單價(jià)，問何時(shí)上市的西紅柿純收益單價(jià)最大？最大是多少？
（注：市場銷售單價(jià)和各種植成本單價(jià)的單位：元/100kg，時(shí)間單位：天）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖象①，設(shè)出函數(shù)關(guān)系式，分別找出兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，代入即可求出y與t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)圖象②，找出三個(gè)點(diǎn)，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)關(guān)系式；
（3）設(shè)純收益為h，則純收益=市場售價(jià)-種植成本，由于y是分段函數(shù)，所以h也是分段函數(shù)，求最大純收益單價(jià)，就要在每一個(gè)分段函數(shù)內(nèi)，根據(jù)自變量取值范圍，函數(shù)性質(zhì)來確定．

解答：解：（1）設(shè)函數(shù)圖象為y=kt+b，
當(dāng)0≤t≤200時(shí)，由圖可知點(diǎn)（0，300），（200，100）在函數(shù)圖象上，
代入解析式得：

b=300 200k+b=100

，
解得：

k=-1 b=300

，
∴y=-t+300
同理可得：
當(dāng)200≤t≤300時(shí)，解析式為y=2t-300，
故銷售單價(jià)y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為：

y=-t+300(0≤t≤200) y=2t-300(200≤t≤300)

；
（2）根據(jù)圖象，設(shè)函數(shù)解析式為z=a（t-150）²+100，
把點(diǎn)（50，150）代入解析式的：150=a×10000+100，
解得：a=

1

200

，
故解析式為：z=

1

200

（t-150）²+100；
（3）設(shè)t時(shí)刻的純收益為h，則由題意得h=y-z，即
h=

-t+300- 1 200 (t-150)2-100(0≤t≤200) 2t-300- 1 200 (t-150)2-100(200≤t≤300)

，
當(dāng)0≤t≤200時(shí)，配方整理得：
h=-

1

200

（t-50）²+100，
當(dāng)t=50時(shí)，h取得區(qū)間[0，200]上的最大值100
當(dāng)200≤t≤300時(shí)，配方整理得：
h=-

1

200

（t-350）²+100，
當(dāng)t=300時(shí)，h取得區(qū)間[200，300]上的最大值87.5
綜上，由100＞87.5可知，h在區(qū)間[0，300]上可以取得最大值100，
此時(shí)t=50，即從二月一日開始的第50天時(shí)，上市的西紅柿純收益最大，最大為100元．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)與分段函數(shù)，自變量取值范圍在本題中都得到了體現(xiàn)，難度較大，要根據(jù)題目給的范圍，找準(zhǔn)等量關(guān)系，分段求最大值．