(2012•寧波模擬)在平面直角坐標系xOy中,已知二次函數(shù)y1=ax2+3x+c的圖象經(jīng)過原點及點A(1,2),與x軸相交于另一點B.
(1)求:二次函數(shù)y1的解析式及B點坐標;
(2)若將拋物線y1以x=3為對稱軸向右翻折后,得到一個新的二次函數(shù)y2,已知二次函數(shù)y2與x軸交于兩點,其中右邊的交點為C點.點P在線段OC上,從O點出發(fā)向C點運動,過P點作x軸的垂線,交直線AO于D點,以PD為邊在PD的右側(cè)作正方形PDEF(當P點運動時,點D、點E、點F也隨之運動);
①當點E在二次函數(shù)y1的圖象上時,求OP的長.
②若點P從O點出發(fā)向C點做勻速運動,速度為每秒1個單位長度,同時線段OC上另一個點Q從C點出發(fā)向O點做勻速運動,速度為每秒2個單位長度(當Q點到達O點時停止運動,P點也同時停止運動).過Q點作x軸的垂線,與直線AC交于G點,以QG為邊在QG的左側(cè)作正方形QGMN(當Q點運動時,點G、點M、點N也隨之運動),若P點運動t秒時,兩個正方形分別有一條邊恰好落在同一條直線上(正方形在x軸上的邊除外),求此刻t的值.
分析:(1)利用二次函數(shù)y1=ax2+3x+c的圖象經(jīng)過原點及點A(1,2),分別代入求出a,c的值即可;
(2)①過A點作AH⊥x軸于H點,根據(jù)DP∥AH,得出△OPD∽△OHA,進而求出OP的長;
②分別利用當點F、點N重合時,當點F、點Q重合時,當點P、點N重合時,當點P、點Q重合時,求出t的值即可.
解答:解:(1)∵二次函數(shù)y1=ax2+3x+c的圖象經(jīng)過原點及點A(1,2),
∴將(0,0),代入得出:
c=0,
將(1,2)代入得出:
a+3=2,
解得:a=-1,
故二次函數(shù)解析式為:y1=-x2+3x,
∵圖象與x軸相交于另一點B,
∴0=-x2+3x,
解得:x=0或3,
則B(3,0);

(2)①由已知可得C(6,0)
如圖:過A點作AH⊥x軸于H點,
∵DP∥AH,
∴△OPD∽△OHA,
OP
PD
=
OH
AH
,
a
PD
=
1
2

∴PD=2a,
∵正方形PDEF,
∴E(3a,2a),
∵E(3a,2a)在二次函數(shù)y1=-x2+3x的圖象上,
∴a=
7
9
;
即OP=
7
9


②如圖1:

當點F、點N重合時,有OF+CN=6,
∵直線AO過點(1,2),
故直線解析式為:y=2x,
當OP=t,
則AP=2t,
∵直線AC過點(1,2),(6,0),
代入y=ax+b,
a+b=2
6a+b=0
,
解得:
a=-
2
5
b=
12
5

故直線AC的解析式為:y=-
2
5
x+
12
5
,
∵當OP=t,QC=2t,
∴QO=6-2t,
∴GQ=-
2
5
(6-2t)+
12
5
=
4
5
t,
即NQ=
4
5
t,
∴OP+PN+NQ+QC=6,
則有3t+2t+
4
5
t=6,
解得:t=
30
29
;
如圖2:

當點F、點Q重合時,有OF+CQ=6,則有3t+2t=6,
解得:t=
6
5

如圖3:

當點P、點N重合時,有OP+CN=6,則有t+2t+
4
5
t=6,
解得:t=
30
19

如圖4:

當點P、點Q重合時,有OP+CQ=6,則有t+2t=6,
解得:t=2.
故此刻t的值為:t1=
30
29
,t2=
6
5
,t3=
30
19
,t4=2.
點評:此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)以及待定系數(shù)法求解析式,根據(jù)已知結(jié)合圖象分類討論得出t的值是解題關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•寧波模擬)如圖,直線l1⊥x軸于點(1,0),直線l2⊥x軸于點(2,0),直線l3⊥x軸于點(3,0),…,直線ln⊥x軸于點(n,0)(n為正整數(shù)).函數(shù)y=x的圖象與直線l1,l2,l3,…,ln分別交于點A1,A2,A3,…,An;函數(shù)y=2x的圖象與直線l1,l2,l3,…,ln分別交于點B1,B2,B3,…,Bn.如果△OA1B1的面積記作S,四邊形A1A2B2B1的面積記作S1,四邊形A2A3B3B2的面積記作S2,…,四邊形AnAn+1Bn+1Bn的面積記作Sn,那么S1=
3
2
3
2
,S2=
5
2
5
2
,S2012=
2012
1
2
2012
1
2

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•寧波模擬)6的倒數(shù)等于( 。

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•寧波模擬)先化簡,再求值:
x2+4x+4
x2-4
-
x
x-2
,其中x=1.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•寧波模擬)設(shè)0<n<m,m2+n2=4mn,則
m2-n2
mn
的值等于(  )

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•寧波模擬)(1)如圖1,正三角形ABC內(nèi)接于⊙O,P是劣弧BC上的任意一點,連接PB、PC,求證:PB+PC=PA.
(2)如圖2,四邊形ABCD中,△ABM與△CDN是分別以AB、CD為一邊的圓的內(nèi)接正三角形,E、F分別在這兩個三角形的外接圓上.請指出E、F兩點的位置,使得AE+EB+EF+FC+FD的值最小,并證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案