Question

已知：是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，拋物線的圖像經(jīng)過點(diǎn)A()、B().

(1)求這個(gè)拋物線的解析式；
(2) 設(shè)（1）中拋物線與軸的另一交點(diǎn)為C,拋物線的頂點(diǎn)為D，
試求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)和△BCD的面積；
(3) P是線段OC上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH⊥軸，與拋物線交于H點(diǎn)，
若直線BC把△PCH分成面積之比為2：3的兩部分，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

（1）拋物線的解析式為y=﹣x²﹣4x+5 
（2）C點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣5，0）．點(diǎn)D（﹣2，9）；15
（3）P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，0）或（﹣，0）

試題分析：（1）解方程x²﹣6x+5=0，
得x₁=5，x₂=1
由m＜n，有m=1，n=5
所以點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（1，0），B（0，5）．
將A（1，0），B（0，5）的坐標(biāo)分別代入y=﹣x²+bx+c．
得   解這個(gè)方程組，得
所以，拋物線的解析式為y=﹣x²﹣4x+5
（2）由y=﹣x²﹣4x+5，令y=0，得﹣x²﹣4x+5=0
解這個(gè)方程，得x₁=﹣5，x₂=1
所以C點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣5，0）．由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算，
得點(diǎn)D（﹣2，9）
過D作x軸的垂線交x軸于M．

則S_△DMC=×9×（5﹣2）=
S_梯形MDBO=×2×（9+5）=14，
S_△BOC=×5×5=
所以，S_△BCD=S_梯形MDBO+S_△DMC﹣S_△BOC=14+﹣=15
答：點(diǎn)C、D的坐標(biāo)和△BCD的面積分別是：（﹣5，0）、（﹣2，9）、15；
（3）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，0）

因?yàn)榫�段BC過B、C兩點(diǎn)，所以BC所在的直線方程為y=x+5．
那么，PH與直線BC的交點(diǎn)坐標(biāo)為E（a，a+5），
PH與拋物線y=﹣x²﹣4x+5的交點(diǎn)坐標(biāo)為H（a，﹣a²﹣4a+5）．
由題意，得①EH=EP，
即（﹣a²﹣4a+5）﹣（a+5）=（a+5）
解這個(gè)方程，得a=﹣或a=﹣5（舍去）
②EH=EP，即（﹣a²﹣4a+5）﹣（a+5）=（a+5）
解這個(gè)方程，得a=﹣或a=﹣5（舍去），
P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，0）或（﹣，0）
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線，掌握拋物線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵，掌握待定系數(shù)法，會(huì)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，會(huì)求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)