Question

某種產(chǎn)品的年產(chǎn)量不超過1 000t，該產(chǎn)品的年產(chǎn)量與費用之間的函數(shù)圖象是頂點在原點的拋物線的一部分（如圖甲）；該產(chǎn)品的年銷量與銷售單價之間的函數(shù)圖象是線段（如圖乙），若生產(chǎn)的產(chǎn)品都能在當年銷售完，問該產(chǎn)品年產(chǎn)量為多少噸時，所獲得的毛利潤最大？（毛利潤=銷售額-費用）

Answer 1

分析：本題通過圖象反映了二次函數(shù)，一次函數(shù)的有關(guān)數(shù)量，就可以簡便地求出兩個函數(shù)關(guān)系式，要找準毛利潤的等量關(guān)系：毛利潤=銷售單價×年產(chǎn)量-費用．

解答：解：設年產(chǎn)量（t）與費用（萬元）之間函數(shù)解析式，y₁=ax²，
由圖甲得，將點（1000，1000）代入得：1000=1000²a，
解得：a=

1

1000

，
即y₁=

1

1000

x²，
設年銷量（t）與銷售單價（萬元/t）之間的函數(shù)解析式為y₂=kx+b，
代入（0，30）、（1000，20）得：

30=b 20=1000k+b

，
解得：

k=- 1 100 b=30

，
即：y₂=-

1

100

x+30，
設毛利潤為y萬元，
由題意得：y=（-

1

100

x+30）x-

1

1000

x²，（其中0≤x≤1000）
y=-

11

1000

x²+30x=-

11

1000

（x²+

30000

11

x）=-

11

1000

（x-

15000

11

）²+

225000

11

，
當x=

15000

11

時，取最大值，
∵x=

15000

11

＞1000，
∴當0≤x≤1000時，y隨x的增大而增大，
故當x=1000時圖象達到最高點，故當年產(chǎn)量為1000噸時，所獲得的毛利潤最大．

點評：本題考查了二次函數(shù)的應用，難度適中，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖象列出函數(shù)式，并學會利用配方法求極值，注意變量x的取值范圍．