Question

已知：如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于F、F．
（1）求證：四邊形AFCE是菱形；
（2）如果BF比AE長2，BE=5，求sin∠FBE的值．

Answer 1

解：（1）∵EF是對角線AC的垂直平分線，
∴OA=OC，AC⊥EF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵∠AOE=∠COF，
∴在△AOE和△COF中，

∴△AOE≌△COF（ASA）．
∴OE=OF．
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
又∵AC⊥EF，
∴四邊形是AFCE菱形．

（2）連接AE交BF于O點，
∴．
在Rt△BOE中，sin∠FBE=．
分析：（1）根據EF是對角線AC的垂直平分線，可以求證△AOE≌△COF，證明四邊形的對角線互相平分，垂直，就可以證出．
（2）在直角△OFC中根據勾股定理就可以求出．
點評：本題主要考查了菱形的證明方法，以及平行四邊形的性質，中心對稱性．