Question

定義{a，b，c}為函數y=ax²+bx+c的“特征數”．如：函數y=x²-2x+3的“特征數”是{1，-2，3}，函數y=2x+3的“特征數”是{0，2，3}，函數y=-x的“特征數”是{0，-1，0}
（1）將“特征數”是{1，-4，1}的函數的圖象向下平移2個單位，得到一個新函數圖象，求這個新函數圖象的解析式；
（2）“特征數”是{0，-

3

3

，

3

}的函數圖象與x、y軸分別交點C、D，“特征數”是{0，-

3

，

3

}的函數圖象與x軸交于點E，點O是原點，判斷△ODC與△OED是否相似，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據函數“特征數”寫出函數的解析式，再根據平移后二次函數的變化情況寫出函數圖象向下平移2個單位的新函數的解析式．
（2）根據已知得出一次函數解析式，進而求出圖象與坐標軸交點，再利用相似三角形的判定得出即可．

解答：解：（1）∵函數y=x²-2x+3的“特征數”是{1，-2，3}，函數y=2x+3的“特征數”是{0，2，3}，函數y=-x的“特征數”是{0，-1，0}，
∴“特征數”是{1，-4，1}的函數解析式是：y=x²-4x+1=（x-2）²-3，
∵函數的圖象向下平移2個單位，
∴y=（x-2）²-5=x²-4x-1，

（2）∵“特征數”是{0，-

3

3

，

3

}的函數圖象與x、y軸分別交點C、D，
∴函數解析式為：y=-

3

3

x+

3

，
∴圖象與x、y軸分別點C（3，0）、D（0，

3

），
∵“特征數”是{0，-

3

，

3

}的函數圖象與x軸交于點E，
∴函數解析式為：y=-

3

x+

3

∴圖象與x、y軸分別點E（1，0）、D（0，

3

），
∴OD=

3

，OC=3，OD=1．
∴OD²=OC×OE，
∴△ODC∽△OED．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用，結合“特征數”的定義考查一次函數，二次函數的綜合應用，綜合性強，能力要求高．