Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+6x與x軸交于O，A兩點(diǎn)，與直線y=2x交于O，B兩點(diǎn)．點(diǎn)P在線段OA上以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)O向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，作EP⊥x軸交直線OB于E；同時(shí)在線段OA上有另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q，以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合）．作CQ⊥x軸交拋物線于點(diǎn)C，以線段CQ為斜邊作如圖所示的等腰直角△CQD．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)t=1秒時(shí)，求CQ的長；

（3）求t為何值時(shí)，點(diǎn)E恰好落在△CQD的某一邊所在的直線上．

Answer 1

【答案】（1）（4，8）．（2）CQ的長為5．（3）當(dāng)t=1.5或3﹣或3或3+時(shí)，點(diǎn)E恰好落在△CQD的某一邊所在的直線上．

【解析】

試題分析：（1）由拋物線與直線相交，聯(lián)立找出關(guān)于x的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論；

（2）找出當(dāng)t=1時(shí)，C點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入拋物線即可得出C點(diǎn)的縱坐標(biāo)，C點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值即CQ的長度；

（3）用t表示出E點(diǎn)的坐標(biāo)，以及線段DQ、CD、CQ所在的直線解析式，由點(diǎn)在直線上，即可解出t的值．

解：（1）∵拋物線y=﹣x2+6x與與直線y=2x交于O，B兩點(diǎn)，

∴2x=﹣x2+6x，解得：x=0（舍去），x=4，

當(dāng)x=4時(shí)，y=2×4=8．

故點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，8）．

（2）∵拋物線y=﹣x2+6x與x軸交于O，A兩點(diǎn)，

∴﹣x2+6x=0，解得：x=0（舍去），x=6，

即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0）．

當(dāng)t=1時(shí)，點(diǎn)C橫坐標(biāo)x=6﹣1=5，

點(diǎn)C縱坐標(biāo)y=﹣52+5×6=5．

故點(diǎn)C坐標(biāo)為（5，5），

即當(dāng)t=1秒時(shí)，CQ的長為5．

（3）過點(diǎn)D作DF⊥CQ于點(diǎn)F，如圖所示．

當(dāng)時(shí)間為t時(shí)，E點(diǎn)坐標(biāo)為（t，2t），C點(diǎn)坐標(biāo)為（6﹣t，6t﹣t2）．

∵△CQD為等腰直角三角形，且CQ⊥x軸，

∴DF∥x軸，且∠CDF=∠QDF=45°，

∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（6﹣t，0），

設(shè)CD所在的直線解析式為y=x+b1，DQ所在的直線解析式為y=﹣x+b2．

結(jié)合C、Q點(diǎn)的坐標(biāo)可知：，

解得：．

故CD所在直線的解析式為y=x﹣t2+7t﹣6，DQ所在的直線解析式為y=﹣x﹣t+6，

而CQ所在直線的解析式為x=6﹣t．

當(dāng)點(diǎn)E在CD所在的直線上時(shí)，有2t=t﹣t2+7t﹣6，

解得：t=3±；

當(dāng)點(diǎn)E在DQ所在的直線上時(shí)，有2t=﹣t﹣t+6，

解得：t=1.5；

當(dāng)點(diǎn)E在CQ所在的直線上時(shí)，有t=6﹣t，

解得：t=3．

綜上可知：當(dāng)t=1.5或3﹣或3或3+時(shí)，點(diǎn)E恰好落在△CQD的某一邊所在的直線上．