Question

如圖，已知△ABC中，AB=a，點D在AB邊上移動（點D不與A、B重合），DE∥BC，交AC于E，連接CD．設(shè)S_△ABC=S，S_△DEC=S₁．
（1）當(dāng)D為AB中點時，求S₁：S的值；
（2）若AD=x，

S1

S

=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；
（3）是否存在點D，使得S1＞

1

4

S成立？若存在，求出D點位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)D為AB中點時，DE是三角形ABC的中位線，DE：BC=1：2，而高線的比也是1：2，則三角形的面積的比就可以求出；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可以得到底邊DE、BC以及高線之間的關(guān)系，就可以求出面積的比；
（3）使得S1＞

1

4

S成立，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)值y的大小關(guān)系．

解答：解：過A作AM⊥BC，交DE于點N，設(shè)AD=x，
根據(jù)DE∥BC，可以得到

DE

BC

=

AN

AM

=

AD

AB

=

x

a

，
則DE=

x

a

•BC，AN=

x

a

•AM；
（1）當(dāng)D為AB中點時，DE是三角形ABC的中位線，
則DE=

1

2

BC，AN=

1

2

AM，而S_△ABC=S=

1

2

•AM•BC，
∴S_△DEC=S₁=

1

2

•AN•DE，
∴S₁：S的值是1：4；

（2）作AM⊥BC，垂足為M，交DE于N點，
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
∴

AN

AM

=

DE

BC

=

AD

AB

=

x

a

，
∴

NM

AM

=

a-x

a

．

S1

S

=（

1

2

•MN•DE）：（

1

2

•AM•BC）=

DE

BC

•

MN

AM

=

x

a

•

a-x

a

=

ax-x2

a2

即y=

ax-x2

a2

，0＜x＜a，

（3）不存在點D，使得S₁＞

1

4

S成立．
理由：假設(shè)存在點D使得S₁＞

1

4

S成立，
那么

S1

S

＞

1

4

即y＞

1

4

，
∴

ax-x2

a2

＞

1

4

，
整理得，(x-

a

2

)2＜0，
∵（x-

a

2

）²≥0，
∴x不存在．
即不存在點D使得S₁＞

1

4

S．

點評：本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，以及三角形的面積的計算方法．