Question

如圖，已知點(diǎn)A在雙曲線(xiàn)y=上，且OA=4，過(guò)A作AC⊥x軸于C，OA的垂直平分線(xiàn)交OC于B，則△AOC的面積=    ；△ABC的周長(zhǎng)為    ．

Answer 1

【答案】分析：首先由反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義，直接得出△AOC的面積=|k|=3；
如果設(shè)A（x，y），那么由線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可知AB=OB，則△ABC的周長(zhǎng)=OC+AC=x+y．由點(diǎn)A在雙曲線(xiàn)y=上，且OA=4，可列出方程組，運(yùn)用完全平方公式將方程組變形，求出x+y的值，從而得出結(jié)果．
解答：解：∵點(diǎn)A在雙曲線(xiàn)y=上，過(guò)A作AC⊥x軸于C，
∴△AOC的面積=|k|=3；
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y）．
∵點(diǎn)A在第一象限，
∴x＞0，y＞0．
∵OA的垂直平分線(xiàn)交OC于B，
∴AB=OB，
∴△ABC的周長(zhǎng)=AB+BC+AC=OB+BC+AC=OC+AC=x+y．
∵點(diǎn)A在雙曲線(xiàn)y=上，且OA=4，
∴
由①得，xy=6③，
③×2+②，得x²+2xy+y²=28，
∴（x+y）²=28，
∵x＞0，y＞0，
∴x+y=2．
∴△ABC的周長(zhǎng)=2．
故答案為：3，2．
點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，完全平方公式等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)．此題難度稍大，綜合性比較強(qiáng)，注意對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的靈活應(yīng)用．