【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB=6,BC=8,CD=24,AD=26,∠B=90°,以AD為直徑作圓O,過點D作DE∥AB交圓O于點E
(1)證明點C在圓O上;
(2)求tan∠CDE的值;
(3)求圓心O到弦ED的距離.
【答案】(1)詳見解析;(2);(3)圓心O到弦ED的距離為.
【解析】
試題分析:(1)如圖1,連結(jié)CO.先由勾股定理求出AC=10,再利用勾股定理的逆定理證明△ACD是直角三角形,∠C=90°,那么OC為Rt△ACD斜邊上的中線,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出OC=AD=r,即點C在圓O上;(2)如圖2,延長BC、DE交于點F,∠BFD=90°.根據(jù)同角的余角相等得出∠CDE=∠ACB.在Rt△ABC中,利用正切函數(shù)定義求出tan∠ACB==,則tan∠CDE=tan∠ACB=;(3)如圖3,連結(jié)AE,作OG⊥ED于點G,則OG∥AE,且OG=AE.易證△ABC∽△CFD,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出CF=,那么BF=BC+CF=.再證明四邊形ABFE是矩形,得出AE=BF=,所以O(shè)G=AE=.
試題解析:(1)證明:如圖1,連結(jié)CO.
∵AB=6,BC=8,∠B=90°,
∴AC=10.
又∵CD=24,AD=26,102+242=262,
∴△ACD是直角三角形,∠C=90°.
∵AD為⊙O的直徑,
∴AO=OD,OC為Rt△ACD斜邊上的中線,
∴OC=AD=r,
∴點C在圓O上;
(2)解:如圖2,延長BC、DE交于點F,∠BFD=90°.
∵∠BFD=90°,
∴∠CDE+∠FCD=90°,
又∵∠ACD=90°,
∴∠ACB+∠FCD=90°,
∴∠CDE=∠ACB.
在Rt△ABC中,tan∠ACB==,
∴tan∠CDE=tan∠ACB=;
(3)解:如圖3,連結(jié)AE,作OG⊥ED于點G,則OG∥AE,且OG=AE.
易證△ABC∽△CFD,
∴=,即=,
∴CF=,
∴BF=BC+CF=8+=.
∵∠B=∠F=∠AED=90°,
∴四邊形ABFE是矩形,
∴AE=BF=,
∴OG=AE=,
即圓心O到弦ED的距離為.
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【題目】如圖1~4,在直角邊分別為3和4的直角三角形中,每多作一條斜邊上的高就增加一個三角形的內(nèi)切圓,依此類推,圖10中有10個直角三角形的內(nèi)切圓,它們的面積分別記為S1,S2,S3,…,S10,則S1+S2+S3+…+S10= .
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【題目】對于3x-2x+3y-4xy-5,小糊涂同學(xué)說了四句話,其中不正確的是( ).
A. 是一個整式 B. 由4個單項式組成 C. 次數(shù)是2 D. 常數(shù)項是-5
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知線段AB的兩個端點分別是A(﹣4,﹣1),B(1,1),將線段AB平移得到線段A′B′,若點A′的坐標(biāo)為(﹣2,2),則點B′的坐標(biāo)為( 。
A. (3,4) B. (4,3) C. (﹣1,﹣2) D. (﹣2,﹣1)
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【題目】直線y=﹣x+2沿y軸向上平移2個單位后與x軸的交點坐標(biāo)是( )
A.(4,0)
B.(0,4)
C.(2,0)
D.(0,2)
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【題目】為了豐富學(xué)生的課外活動,拓展孩子們的課外視野,我校的社團(tuán)活動每年都在增加,社員也一直在增加.2017年我校八年級社員的總?cè)藬?shù)是300人,2019年我校八年級總校社員有432人。試求出這兩年八年級社員人數(shù)的平均增長率.
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【題目】下列說法正確的是( )
A.一個直角三角形一定不是等腰三角形
B.一個鈍角三角形一定不是等腰三角形
C.一個等腰三角形一定不是銳角三角形
D.一個等邊三角形一定不是鈍角三角形
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