Question

在平面之間坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=--

1

2

x+2的圖象與x軸y軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P，O，B為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出所以符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：首先求得A、B的坐標(biāo)，然后分O，B，P分別是直角頂點(diǎn)三種情況討論，每種情況再分那條邊與OB是對(duì)應(yīng)邊兩種情況進(jìn)行討論，即可求解．

解答：解：在y=-

1

2

x+2中，令x=0，解得：y=2，則B的坐標(biāo)是（0，2）；
在y=--

1

2

x+2中令y=0，解得：x=4，則A的坐標(biāo)是（4，0）．
當(dāng)O是直角頂點(diǎn)時(shí)，P一定在x軸上，與△AOB重合，不符合題意；
當(dāng)B是直角頂點(diǎn)時(shí)，當(dāng)△OPB的邊OB與△AOB的邊BO是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，即△AOB∽△PBO時(shí)，P的坐標(biāo)是（4，2）；
當(dāng)△AOB∽△OBP時(shí)，

OA

OB

=

OB

BP

，即

4

2

=

2

BP

，解得：BP=1，則P的坐標(biāo)是（1，2）；
當(dāng)P是直角頂點(diǎn)，當(dāng)△AOB∽△OPB時(shí)，OP是直角△AOB斜邊AB上的高，如圖1，
則AB=

OA2+OB2

=

22+42

=2

5

，
OB²=PB•AB，則BP=

OB2

AB

=

4

2 5

=

2 5

5

，
∴AP=AB-BP=2

5

-

2 5

5

=

8 5

5

，
∴OP=

AP•PB

=

4 5

5

，
過(guò)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C．
則△PCO∽△AOB，
∴

OC

OB

=

PC

OA

=

OP

AB

=

4 5 5

2 5

=

2

5

，
∴OC=

2

5

OB=

4

5

，PC=

2

5

OA=

8

5

，則P的坐標(biāo)是（

4

5

，

8

5

）；
當(dāng)△AOB∽△BPO時(shí)，如圖2，則

OP

OB

=

OB

AB

，即

OP

2

=

2

2 5

，解得：OP=

2 5

5

，
過(guò)P作PD⊥x軸，則△OPD∽△ABO，
∴

PD

OB

=

OD

OA

=

OP

AB

=

2 5 5

2 5

=

1

5

，
則PD=

1

5

OB=0.4，OD=

1

5

OA=0.8，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，1）．
故P的坐標(biāo)是：（4，2）或（1，2）或（

4

5

，

8

5

）或（0.8，0.4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形相似的判定與性質(zhì)，正確進(jìn)行討論是關(guān)鍵．