Question

如圖，已知二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為D，且直線DC的解析式為y=x+3．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）求△ABC外接圓的半徑及外心的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ACPB的面積最大值．

Answer 1

（1）∵二次函數(shù)：y=-x²+bx+c的圖象與直線DC：y=x+3交于點(diǎn)C，
∴c=3，C（0，3）；
二次函數(shù) y=-x²+bx+3中，頂點(diǎn)D （

b

2

，

b2+12

4

），代入直線DC y=x+3中，得：

b

2

+3=

b2+12

4

，
解得 b₁=0（舍）、b₂=2；
故二次函數(shù)的解析式：y=-x²+2x+3．

（2）由（1）的拋物線解析式知：A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）；
設(shè)△ABC的外心M（x，y），則：
AM²=（x+1）²+y²、BM²=（x-3）²+y²、CM²=x²+（y-3）²；
由于AM=BM=CM，所以有：

(x+1)2+y2=(x-3)2+y2 (x+1)2+y2=x2+(y-3)2

，
解得

x=1 y=1

此時(shí) AM=BM=CM=

5

；
綜上，△ABC的外接圓半徑為

5

，外心的坐標(biāo)（1，1）．

（3）如右圖，過點(diǎn)P作PE∥y軸，交直線BC于點(diǎn)E；
由B（3，0）、C（0，3）知，直線BC：y=-x+3；
設(shè)點(diǎn)P（x，-x²+2x+3），則E（x，-x+3），
PE=-x²+2x+3-（-x+3）=-x²+3x；
則S_{四邊形ACPB}=S_△ACB+S_△CPB
=

1

2

AB•OC+

1

2

PE•OB
=

1

2

×4×3+

1

2

×（-x²+3x）×3
=-

3

2

（x-

3

2

）²+

75

8

；
綜上，四邊形ACPB的最大面積最大值為

75

8

．