(2012•懷化)如圖,已知AB是⊙O的弦,OB=4,∠OBC=30°,點(diǎn)C是弦AB上任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B重合),連接CO并延長CO交⊙O于點(diǎn)D,連接AD、DB.
(1)當(dāng)∠ADC=18°時,求∠DOB的度數(shù);
(2)若AC=2
3
,求證:△ACD∽△OCB.
分析:(1)連接OA,根據(jù)OA=OB=OD,求出∠DAO、∠OAB的度數(shù),求出∠DAB,根據(jù)圓周角定理求出即可;
(2)過O作OE⊥AB于E,根據(jù)垂徑定理求出AE和BE,求出AB,推出C、E重合,得出∠ACD=∠OCB=90°,求出DC長得出
AC
OC
=
DC
BC
,根據(jù)相似三角形的判定推出即可.
解答:(1)解:連接OA,
∵OA=OB=OD,
∴∠OAB=∠OBC=30°,∠OAD=∠ADC=18°,
∴∠DAB=∠DAO+∠BAO=48°,
由圓周角定理得:∠DOB=2∠DAB=96°.

(2)證明:過O作OE⊥AB于點(diǎn)E,垂足為E,
∵OE過O,
由垂徑定理得:AE=BE,
∵在Rt△OEB中,OB=4,∠OBC=30°,
∴OE=
1
2
OB=2,
由勾股定理得:BE=2
3
=AE,
即AB=2AE=4
3

∵AC=2
3
,
∴BC=2
3

即C、E兩點(diǎn)重合,
∴DC⊥AB,
∴∠DCA=∠OCB=90°,
∵DC=OD+OC=2+4=6,OC=2,AC=BC=2
3
,
AC
OC
=
CD
BC
=
3

∴△ACD∽△OCB(兩邊對應(yīng)成比例,且夾角相等的兩三角形相似).
點(diǎn)評:本題綜合考查了垂徑定理,圓周角定理,相似三角形的判定,勾股定理,等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用,主要考查學(xué)生能否運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理,題目綜合性比較強(qiáng),是一道比較好的題目.
練習(xí)冊系列答案
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(2012•懷化)如圖,已知AB∥CD,AE平分∠CAB,且交于點(diǎn)D,∠C=110°,則∠EAB為( 。

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(2012•懷化)如圖,點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn),PA是⊙O的切線,切點(diǎn)為A,⊙O的半徑OA=2cm,∠P=30°,則PO=
4
4
cm.

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(2012•懷化)如圖,四邊形ABCD是邊長為3
2
的正方形,長方形AEFG的寬AE=
7
2
,長EF=
7
2
3
.將長方形AEFG繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)15°得到長方形AMNH(如圖),這時BD與MN相交于點(diǎn)O.
(1)求∠DOM的度數(shù);
(2)在圖中,求D、N兩點(diǎn)間的距離;
(3)若把長方形AMNH繞點(diǎn)A再順時針旋轉(zhuǎn)15°得到長方形ARTZ,請問此時點(diǎn)B在矩形ARTZ的內(nèi)部、外部、還是邊上?并說明理由.

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(2012•懷化)如圖,拋物線m:y=-
1
4
(x+h)2+k與x軸的交點(diǎn)為A、B,與y軸的交點(diǎn)為C,頂點(diǎn)為M(3,
25
4
),將拋物線m繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°,得到新的拋物線n,它的頂點(diǎn)為D;
(1)求拋物線n的解析式;
(2)設(shè)拋物線n與x軸的另一個交點(diǎn)為E,點(diǎn)P是線段ED上一個動點(diǎn)(P不與E、D重合),過點(diǎn)P作y軸的垂線,垂足為F,連接EF.如果P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),△PEF的面積為S,求S與x的函數(shù)關(guān)系式,寫出自變量x的取值范圍,并求出S的最大值;
(3)設(shè)拋物線m的對稱軸與x軸的交點(diǎn)為G,以G為圓心,A、B兩點(diǎn)間的距離為直徑作⊙G,試判斷直線CM與⊙G的位置關(guān)系,并說明理由.

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