Question

如圖，三個半徑為

3

的圓兩兩外切，且△ABC的每一邊都與其中的兩個圓相切，那么△ABC的周長是

 

．

Answer 1

分析：設與AB相切的兩個圓為⊙O、⊙P，設切點為E、F，連接OA、OP、QB、OE、PF；在Rt△OAE中，根據(jù)⊙O的半徑和∠BAO的度數(shù)可求得AE的長，同理可得BF的值，而⊙O、⊙P外切，那么EF（即OP）為兩圓的半徑和，由此可求得等邊三角形的邊長，進而可求得其周長．

解答：解：如圖，∵連接AO、OP、PB、OE、PF、ON；
∴根據(jù)相切兩圓性質(zhì)得出OP=PN=ON=2

3

，
∴△ONP是等邊三角形，
∴∠OPN=∠PON=∠ONP=60°，
∵根據(jù)切線性質(zhì)得出OE⊥AB，PF⊥AB，
∴OE∥PF，OE=PF，
∴四邊形OEFP是矩形，
∴OP∥AB，
同理PN∥BC，ON∥AC，
則∠OPN=∠ABC=60°，∠PON=∠BAC=60°
根據(jù)切線長定理∠ABP=

1

2

∠ABC=30°，∠EAO=30°，

在Rt△AOE中，∠EAO=30°，OE=

3

；
則AE=3，同理可得BF=3；
由于⊙O、⊙P外切，所以OP=2

3

；
故AB=AE+EF+BF=6+2

3

，根據(jù)切線長定理可得，AB=BC=AC，
因此△ABC的周長為：18+6

3

．

點評：此題主要考查了相切兩圓的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及解直角三角形的應用，正確的構造直角三角形是解決此類問題的關鍵．