Question

如圖所示，已知拋物線y=x²-1與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．過點A作AP∥CB交拋物線于點P，點M在x軸上方的拋物線上，過M作MG⊥x軸于點G，以A、M、G三點為頂點的三角形與△PCA相似．則點M的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)拋物線的解析式，易求得A（-1，0），B（1，0），C（0，-1）；則△ACB是等腰Rt△，由于AP∥BC，可知∠PAC=90°；根據(jù)B、C的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求出直線BC的解析式，而AP∥BC，則直線AP與BC的斜率相同，再加上A點的坐標(biāo)，即可求出直線AP的解析式，聯(lián)立直線AP和拋物線的解析式，可求出P點的坐標(biāo)，即可得出AP、AC的長．
在Rt△APC和Rt△AMG中，已知了∠PAC=∠AGM=90°，若兩三角形相似，則直角邊對應(yīng)成比例，據(jù)此可求出M點的坐標(biāo)．

解答：解：易知：A（-1，0），B（1，0），C（0，-1）；
則OA=OB=OC=1，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=90°，AC=

2

；
又∵AP∥BC，
∴∠PAC=90°；
易知直線BC的解析式為y=x-1，
由于直線AP∥BC，可設(shè)直線AP的解析式為y=x+b，由于直線AP過點A（-1，0）；
則直線AP的解析式為：y=x+1，
聯(lián)立拋物線的解析式：

y=x+1 y=x2-1

，
解得

x=2 y=3

，

x=-1 y=0

；
故P（2，3）；
∴AP=

(2+1)2+32

=3

2

；
Rt△PAC和Rt△AMG中，∠AGM=∠PAC=90°，且PA：AC=3

2

：

2

=3：1；
若以A、M、G三點為頂點的三角形與△PCA相似，則AG：MG=1：3或3：1；
設(shè)M點坐標(biāo)為（m，m²-1），（m＜-1或m＞1）
則有：MG=m²-1，AG=|m+1|；
①當(dāng)AM：MG=1：3時，m²-1=3|m+1|，m²-1=±（3m+3）；
當(dāng)m²-1=3m+3時，m²-3m-4=0，解得m=1（舍去），m=4；
當(dāng)m²-1=-3m-3時，m²+3m+2=0，解得m=-1（舍去），m=-2；
∴M₁（4，15），M₂（-2，3）；
②當(dāng)AM：MG=3：1時，3（m²-1）=|m+1|，3m²-3=±（m+1）；
當(dāng)3m²-3=m+1時，3m²-m-4=0，解得m=-1（舍去），m=

4

3

；
當(dāng)3m²-3=-m-1時，3m²+m-2=0，解得m=-1（舍去），m=

2

3

（舍去）；
∴M₃（

4

3

，

7

9

）．
故符合條件的M點坐標(biāo)為：（4，15），（-2，3），（

4

3

，

7

9

）．

點評：此題主要考查了函數(shù)圖象交點、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)等，需注意的是在相似三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角不確定的情況下需分類討論，以免漏解．