Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，AB=10cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以5cm/s的速度從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)B；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以3cm/s的速度從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)B，連結(jié)PQ；過點(diǎn)P作PD⊥AC交AC于點(diǎn)D，將△APD沿PD翻折得到△A′PD，以A′P和PB為鄰邊作?A′PBE，A′E交射線BC于點(diǎn)F，交射線PQ于點(diǎn)G．設(shè)?A′PBE與四邊形PDCQ重疊部分圖形的面積為Scm²，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)A′與點(diǎn)C重合；
（2）用含t的代數(shù)式表示QF的長；
（3）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（4）請(qǐng)直接寫出當(dāng)射線PQ將?A′PBE分成的兩部分圖形的面積之比是1：3時(shí)t的值．

Answer 1

（1）t=1（2）當(dāng)0＜t≤時(shí)，QF=6﹣9t；當(dāng)＜t＜2時(shí)，QF=9t﹣6．
當(dāng)0＜t≤時(shí)，S=12t²；當(dāng)＜t≤1時(shí)，S=﹣42t²+72t﹣24：當(dāng)1＜t＜2時(shí)，S=6t²﹣24t+24．       
t的值為秒或秒．

解析試題分析：（1）易證△ADP∽△ACB，從而可得AD=4t，由折疊可得AA′=2AD=8t，由點(diǎn)A′與點(diǎn)C重合可得8t=8，從而可以求出t的值．
（2）根據(jù)點(diǎn)F的位置不同，可分點(diǎn)F在BQ上（不包括點(diǎn)B）、在CQ上（不包括點(diǎn)Q）、在BC的延長線上三種情況進(jìn)行討論，就可解決問題．
（3）根據(jù)點(diǎn)F的位置不同，可分點(diǎn)F在BQ上（不包括點(diǎn)B）、在CQ上（不包括點(diǎn)Q）、在BC的延長線上三種情況進(jìn)行討論，就可解決問題．
（4）可分①S△A′PG：S四邊形PBEG=1：3，如圖7，②S△BPN：S四邊形PNEA′=1：3，如圖8，兩種情況進(jìn)行討論，就可解決問題．
試題解析：（1）如圖1，

由題可得：PA′=PA=5t，CQ=3t，AD=A′D．
∵∠ACB=90°，AC=8，AB=10，∴BC=6．
∵∠ADP=∠ACB=90°，
∴PD∥BC．
∴△ADP∽△ACB．
∴==．
∴==．
∴AD=4t，PD=3t．
∴AA′=2AD=8t．
當(dāng)點(diǎn)A′與點(diǎn)C重合時(shí)，AA′=AC．
∴8t=8．
∴t=1．
（2）①當(dāng)點(diǎn)F在線段BQ上（不包括點(diǎn)B）時(shí)，如圖1，

則有CQ≤CF＜CB．
∵四邊形A′PBE是平行四邊形，
∴A′E∥BP．
∴△CA′F∽△CAB．
∴=．
∴=．
∴CF=6﹣6t．
∴3t≤6﹣6t＜6．
∴0＜t≤．
此時(shí)QF=CF﹣CQ=6﹣6t﹣3t=6﹣9t．
②當(dāng)點(diǎn)F在線段CQ上（不包括點(diǎn)Q）時(shí)，如圖2，

則有0≤CF＜CQ．
∵CF=6﹣6t，CQ=3t，
∴0≤6﹣6t＜3t．
∴＜t≤1．
此時(shí)QF=CQ﹣CF=3t﹣（6﹣6t）=9t﹣6．
③當(dāng)點(diǎn)F在線段BC的延長線上時(shí)，如圖3，

則有AA′＞AC，且AP＜AB．
∴8t＞8，且5t＜10．
∴1＜t＜2．
同理可得：CF=6t﹣6．
此時(shí)QF=QC+CF=3t+6t﹣6=9t﹣6．
綜上所述：當(dāng)0＜t≤時(shí)，QF=6﹣9t；當(dāng)＜t＜2時(shí)，QF=9t﹣6．
（3）①當(dāng)0＜t≤時(shí)，
過點(diǎn) A′作A′M⊥PG，垂足為M，如圖4，

則有A′M=CQ=3t．
∵==，==，
∴=，
∵∠PBQ=∠ABC，
∴△BPQ∽△BAC．
∴∠BQP=∠BCA．
∴PQ∥AC．
∵AP∥A′G．
∴四邊形APGA′是平行四邊形．
∴PG=AA′=8t．
∴S=S_△A′PG=PG•A′M
=×8t×3t=12t²．
②當(dāng)＜t≤1時(shí)，
過點(diǎn) A′作A′M⊥PG，垂足為M，如圖5，

則有A′M=QC=3t，PQ=DC=8﹣4t，PG=AA′=8t，QG=PG﹣PQ=12t﹣8，QF=9t﹣6．．
∴S=S_△A′PG﹣S_△GQF
=PG•A′M﹣QG•QF
=×8t×3t﹣×（12t﹣8）×（9t﹣6）
=﹣42t²+72t﹣24．
③當(dāng)1＜t＜2時(shí)，如圖6，

∵PQ∥AC，PA=PA′
∴∠BPQ=∠PAA′，∠QPA′=∠PA′A，∠PAA′=∠PA′A．
∴∠BPQ=∠QPA′．
∵∠PQB=∠PQS=90°，
∴∠PBQ=∠PSQ．
∴PB=PS．
∴BQ=SQ．
∴SQ=6﹣3t．
∴S=S_△PQS=PQ•QS=×（8﹣4t）×（6﹣3t）=6t²﹣24t+24．
綜上所述：當(dāng)0＜t≤時(shí)，S=12t²；當(dāng)＜t≤1時(shí)，S=﹣42t²+72t﹣24