Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，平行于x軸的直線與拋物線L：y=ax2相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在第一象限），點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上．

（1）已知a=1，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2．
①如圖1，向右平移拋物線L使該拋物線過(guò)點(diǎn)B，與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C，求AC的長(zhǎng)．
②如圖2，若BD= AB，過(guò)點(diǎn)B，D的拋物線L2 ， 其頂點(diǎn)M在x軸上，求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
（2）如圖3，若BD=AB，過(guò)O，B，D三點(diǎn)的拋物線L3 ， 頂點(diǎn)為P，對(duì)應(yīng)函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為a3 ， 過(guò)點(diǎn)P作PE∥x軸，交拋物線L于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求 的值，并直接寫(xiě)出 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①二次函數(shù)y=x2，當(dāng)y=2時(shí)，2=x2，

解得x1= ，x2=﹣ ，

∴AB=2 ．

∵平移得到的拋物線L1經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，

∴BC=AB=2 ，

∴AC=4 ．

②作拋物線L2的對(duì)稱軸與AD相交于點(diǎn)N，如圖2，

根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱性，得BN= DB= ，

∴OM= ．

設(shè)拋物線L2的函數(shù)表達(dá)式為y=a（x﹣ ）2，

由①得，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ，2），

∴2=a（ ﹣ ）2，

解得a=4．

拋物線L2的函數(shù)表達(dá)式為y=4（x﹣ ）2

（2）

解：如圖3，拋物線L3與x軸交于點(diǎn)G，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)Q，

過(guò)點(diǎn)B作BK⊥x軸于點(diǎn)K，

設(shè)OK=t，則AB=BD=2t，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（t，at2），

根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱性，得OQ=2t，OG=2OQ=4t．

設(shè)拋物線L3的函數(shù)表達(dá)式為y=a3x（x﹣4t），

∵該拋物線過(guò)點(diǎn)B（t，at2），

∴at2=a3t（t﹣4t），

∵t≠0，

∴ =﹣ ，

由題意得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2t，﹣4a3t2），

則﹣4a3t2=ax2，

解得，x1=﹣ t，x2= t，

EF= t，

∴ = ．

【解析】（1）①根據(jù)函數(shù)解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，求出AC的長(zhǎng)；②作拋物線L2的對(duì)稱軸與AD相交于點(diǎn)N，根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱性求出OM，利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）過(guò)點(diǎn)B作BK⊥x軸于點(diǎn)K，設(shè)OK=t，得到OG=4t，利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)拋物線過(guò)點(diǎn)B（t，at2），求出 的值，根據(jù)拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出 的值．