【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為D點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),與x軸交于A、B兩點(diǎn), A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè),B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0),OB=OC ,tan∠ACO=.
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)經(jīng)過(guò)C、D兩點(diǎn)的直線(xiàn),與x軸交于點(diǎn)E,在該拋物線(xiàn)上是否存在這樣的點(diǎn)F,使以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)若平行于x軸的直線(xiàn)與該拋物線(xiàn)交于M、N兩點(diǎn),且以MN為直徑的圓與x軸相切,求該圓半徑的長(zhǎng)度;
(4)如圖2,若點(diǎn)G(2,y)是該拋物線(xiàn)上一點(diǎn),點(diǎn)P是直線(xiàn)AG下方的拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),△APG的面積最大?求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和△APG的最大面積.
【答案】(1)(2)存在,F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-3)(3)或(4),
【解析】解:(1)方法一:由已知得:C(0,-3),A(-1,0)
將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得 ………………… 2分
解得:
所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為: ………………… 3分
方法二:由已知得:C(0,-3),A(-1,0)
設(shè)該表達(dá)式為: ………………… 2分
將C點(diǎn)的坐標(biāo)代入得:
所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為: …………………3分
(注:表達(dá)式的最終結(jié)果用三種形式中的任一種都不扣分)
(2)方法一:存在,F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-3)
理由:易得D(1,-4),所以直線(xiàn)CD的解析式為:
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,0)
由A、C、E、F四點(diǎn)的坐標(biāo)得:AE=CF=2,AE∥CF
∴以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形
∴存在點(diǎn)F,坐標(biāo)為(2,-3) ………………… 6分
方法二:易得D(1,-4),所以直線(xiàn)CD的解析式為:
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,0)
∵以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形
∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-3)或(―2,―3)或(-4,3)
代入拋物線(xiàn)的表達(dá)式檢驗(yàn),只有(2,-3)符合
∴存在點(diǎn)F,坐標(biāo)為(2,-3) ………………… 6分
(3)如圖,①當(dāng)直線(xiàn)MN在x軸上方時(shí),設(shè)圓的半徑為R(R>0),則N(R+1,R),
代入拋物線(xiàn)的表達(dá)式,解得 …………………8分
②當(dāng)直線(xiàn)MN在x軸下方時(shí),設(shè)圓的半徑為r(r>0),
則N(r+1,-r),
代入拋物線(xiàn)的表達(dá)式,解得 ………………… 9分
∴圓的半徑為或.
(4)過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線(xiàn)與AG交于點(diǎn)Q,
易得G(2,-3),直線(xiàn)AG為.
設(shè)P(x,),則Q(x,-x-1),PQ.
當(dāng)時(shí),△APG的面積最大
此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為,. ………………… 12分
(1)根據(jù)已知條件,易求得C、A的坐標(biāo),可用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的解析式;
(2)根據(jù)以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,由平行四邊形的性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)得出AE=CF,AE∥CF即可得出答案.
(3)分兩種情況進(jìn)行討論:①當(dāng)直線(xiàn)MN在x軸上方時(shí);②當(dāng)直線(xiàn)MN在x軸下方時(shí),設(shè)圓的半徑,代入拋物線(xiàn)求解
(4)易求得AC的長(zhǎng),由于AC長(zhǎng)為定值,當(dāng)P到直線(xiàn)AG的距離最大時(shí),△APG的面積最大.可過(guò)P作y軸的平行線(xiàn),交AG于Q;設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)直線(xiàn)AG的解析式可求出Q點(diǎn)坐標(biāo),也就求出PQ的長(zhǎng),進(jìn)而可得出關(guān)于△APG的面積與P點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可求出△APG的最大面積及P點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)此時(shí)△APG的面積和AG的長(zhǎng),即可求出P到直線(xiàn)AC的最大距離.
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【題目】如圖,已知在△ABC中,CD⊥AB于D,AC=20,BC=15,DB=9.
(1)求DC的長(zhǎng);
(2)求AB的長(zhǎng);
(3)求證:△ABC是直角三角形.
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【題目】如圖,AB是⊙O的一條弦,OD⊥AB,垂足為點(diǎn)C,交⊙O于點(diǎn)D,點(diǎn)E在⊙O上.
(1)若∠AOD=52°,求∠DEB的度數(shù);
(2)若OC=3,OA=6,求tan∠DEB的值.
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【題目】如圖,正方形ABCD的面積為1,則以相鄰兩邊中點(diǎn)連線(xiàn)EF為邊的正方形EFGH的周長(zhǎng)為( )
A. B. C. D.
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【題目】如圖:已知在△ABC中,AB=AC,D為BC邊的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB,DF⊥AC,,垂足分別為E,F.
(1)求證:△BED≌△CFD;
(2)若∠A=90°,求證:四邊形DFAE是正方形.
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【題目】如圖,點(diǎn)O是線(xiàn)段AB上的一點(diǎn),OA=OC,OD平分∠AOC交AC于點(diǎn)D,OF平分∠COB,CF⊥OF于點(diǎn)F.
(1)求證:四邊形CDOF是矩形;
(2)當(dāng)∠AOC多少度時(shí),四邊形CDOF是正方形?并說(shuō)明理由.
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【題目】已知點(diǎn)P(0,m)在y軸的負(fù)半軸上,則點(diǎn)M(-m,-m+1)在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
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【題目】某校實(shí)行學(xué)案式教學(xué),需印制若干份教學(xué)學(xué)案.印刷廠有,甲、乙兩種收費(fèi)方式,除按印數(shù)收取印刷費(fèi)外,甲種方式還需收取制版費(fèi)而乙種不需要,兩種印刷方式的費(fèi)用y(元)與印刷份數(shù)x(份)之間的關(guān)系如圖所示.
(1)填空:甲種收費(fèi)方式的函數(shù)關(guān)系式是__________,乙種收費(fèi)方式的函數(shù)關(guān)系式是__________.
(2)該校某年級(jí)每次需印制100~450(含100和450)份學(xué)案,選擇哪種印刷方式較合算.
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