Question

歸納猜想：同學(xué)們，讓我們一起進(jìn)行一次研究性學(xué)習(xí)：
（1）如圖1已知正三角形ABC的中心為O，半徑為R，將其沿直線l向右翻滾，當(dāng)正三角形翻滾一周時(shí)，其中心O經(jīng)過的路程是多少？

（2）如圖2將半徑為R的正方形沿直線l向右翻滾，當(dāng)正方形翻滾一周時(shí)，其中心O經(jīng)過的路程是多少？

（3）猜想：把正多邊形翻滾一周，其中心O所經(jīng)過的路程是多少（R為正多邊形的半徑，可參看圖2）？請說明理由．

（4）進(jìn)一步猜想：任何多邊形都有一個(gè)外接圓，若將任意圓內(nèi)接多邊形翻滾一周時(shí)，其外心所經(jīng)過的路程是否是一個(gè)定值（R為多邊形外接圓的半徑）？為什么？請以任意三角形為例說明（如圖12）．
通過以上猜想你可得到什么樣的結(jié)論？請寫出來．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)正三角形ABC向右翻滾一周時(shí)，其中心O經(jīng)過的路線是三條等弧，根據(jù)弧長公式求出一條弧長，繼而可得出答案．
（2）滾過的路程相當(dāng)于90°的圓弧的長，繼而代入弧長公式計(jì)算即可．
（3）當(dāng)n邊形向右翻滾一周時(shí)，其中心O經(jīng)過的路線是n條等弧，這些弧的半徑為R，所對的圓心角為

360°

n

，繼而代入計(jì)算即可．
（4）是定值2πR，按照前面的計(jì)算思想進(jìn)行證明即可．

解答：解：（1）當(dāng)正三角形ABC向右翻滾一周時(shí)，其中心O經(jīng)過的路線是三條等弧，
所以其中心O經(jīng)過的路程為：

120πR

180

×3=2πR．

（2）中心O經(jīng)過的路程為

90πR

180

×4=2πR．

（3）當(dāng)n邊形向右翻滾一周時(shí)，其中心O經(jīng)過的路線是n條等弧，這些弧的半徑為R，所對的圓心角為

360°

n

，
所以中心O經(jīng)過的路程為

360 n •π•R

180

×n=2πR．

（4）是定值2πR，理由如下：
在△ABC中，設(shè)∠A=α，∠B=β，∠C=γ，△ABC的外接圓⊙O的半徑為R，
把△ABC沿直線l向右翻滾一周時(shí)，其外心O經(jīng)過的路線是三條弧，
當(dāng)AC邊與直線l重合時(shí)，C與C'重合，A與A'重合，B與B'重合，
連接CO、C'O'，則∠ACO=∠A'C'O'，
所以∠OCO'=∠ACA'=180°-γ，
所以l=

(180-γ)πR

180

，
同理，另兩條弧長分別為：

(180-α)πR

180

，

(180-β)πR

180

，
所以外心O所經(jīng)過的路程為2πR．
通過以上猜想可得結(jié)論為：把圓內(nèi)接多邊形翻滾一周時(shí)，多邊形的外心所經(jīng)過的路程是一個(gè)定值．

點(diǎn)評：此題考查了弧長的計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是掌握一些特殊圖形的性質(zhì)，熟練記憶弧長公式，有一定的難度，注意培養(yǎng)猜測、推理能力．